Question

（本題10分）如圖直角梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC ，AD＝2，AB＝8，CD＝10．

(1)求BC的長；

(2)動點(diǎn)P從點(diǎn)B出發(fā)，以1cm/s的速度沿B→A→D方向向點(diǎn)D運(yùn)動；動點(diǎn)Q從點(diǎn)C出發(fā)，以1cm/s的速度沿C→D方向向點(diǎn)D運(yùn)動；過點(diǎn)Q作QF⊥BC于點(diǎn)F．若P、Q兩點(diǎn)同時出發(fā)，當(dāng)其中一點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時整個運(yùn)動隨之結(jié)束，設(shè)運(yùn)動時間為t秒．問：在運(yùn)動過程中，是否存在這樣的t，使得以P、D、Q為頂點(diǎn)的三角形恰好是以DQ為一腰的等腰三角形？若存在，請求出所有符合條件的t的值；若不存在，請說明理由．

 

        

 

 

 

Answer 1

解：（1）過點(diǎn)D作DE⊥BC于點(diǎn)E

       ∵四邊形ABCD是直角梯形      ∴四邊形ABED是矩形

       ∴AD=BE=2，AB=DE=8…………………（1分）

       在Rt△DEC中，CE===6 …………………（2分）

      ∴BC =8. …………………（3分）

（2）（i）當(dāng)0≤t≤8時，過點(diǎn)Q 作QG⊥AB于點(diǎn)G，過點(diǎn)Q作QF⊥CB于點(diǎn)F。

∵BP=t，CQ=t，      ∴AP=8－t，DQ=10－t，…………（4分）

∵DE⊥BC，QF⊥CB

∴△CQF∽△CDE

∴

∴      ∴CF=，QF=，

∴PG==，QG=8－

∴=（8－t）2+22=t2+16t+68，

∴PQ2=QG2+PG2=（8－）2+（）2=

若DQ=PD，則（10－t）2= t2+16t+68，解得：t=8；………………（6分）

若DQ=PQ，則（10－t）2=，

解得：t1= ，t2=＞8（舍去），

此時t=；             ……… ………（8分）

（ii）當(dāng)8＜t＜10時，PD=DQ=10－t，

      ∴此時以DQ為一腰的等腰△DPQ恒成立；………………（9分）

   而當(dāng)t=10時，點(diǎn)P、D、Q三點(diǎn)重合，無法構(gòu)成三角形；…………（10分）

綜上,當(dāng)t=或8≤t＜10時，以P、D、Q為頂點(diǎn)的三角形恰好是以DQ為一腰的等腰三角形.                                

解析:略