【題目】如圖1，已知拋物線與軸交于點，與軸交于點．

　　　

（1）求，的值；

（2）點是第一象限拋物線上一動點，過點作軸的垂線，交于點．當△為等腰三角形時，求點的坐標；

（3）如圖2，拋物線頂點為，已知直線與二次函數(shù)圖象相交于，兩點．求證：無論為何值，△恒為直角三角形．

【答案】（1）；（2）點的坐標，，；（3）見解析．

【解析】

（1）將點代入解析式中即可求出結(jié)論；

（2）利用待定系數(shù)法求出直線BC的解析式，設點，則點 ，過點作于點，根據(jù)等腰三角形腰的情況分類討論，然后根據(jù)三線合一、等腰直角三角形的性質(zhì)列出方程即可求出結(jié)論；

（3）將二次函數(shù)和一次函數(shù)的解析式聯(lián)立，整理得，設點的坐標為，根據(jù)根與系數(shù)的關系可得則， ，，然后利用平面直角坐標系中任意兩點之間的距離公式和勾股定理的逆定理即可證出結(jié)論．

解：（1）將點代入，

得，

解得，

∴；

（2）設直線的解析式為，

將點代入，

得，，

∴直線的解析式為，

設點，則點 ，

過點作于點，

①當時，，

∵，

∴，

∵，

∴，

∴，

∴，

即，

解得，（舍去），，

∴；

②當時，

，

解得

∴

③當時，此時點P和點M重合

，

解得

∴

綜上所述點的坐標，，；

（3）將二次函數(shù)與直線的表達式聯(lián)立并整理得：，

設點的坐標為，

則，

則 ，

同理：，

點的坐標為，，點，

∴

即：為直角三角形．

練習冊系列答案
相關習題

科目：初中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】小亮同學在學校組織的社會調(diào)查活動中負責了解他所居住的小區(qū)450戶居民的生活用水情況，他從中隨機調(diào)查了若干戶居民的月均用水量（單位：t），并繪制了樣本的頻數(shù)分布表和頻數(shù)分布直方圖（如圖）

月均用水量（單位：t）

頻數(shù)

百分比

2≤x＜3

2

4%

3≤x＜4

12

24%

4≤x＜5

a

b

5≤x＜6

10

20%

6≤x＜7

c

12%

7≤x＜8

3

6%

8≤x＜9

2

4%

（1）頻數(shù)分布表中a= ，b= ．（填百分比），c= ；補全頻數(shù)分布直方圖．

（2）如果家庭月均用水量“大于或等于4t且小于7t”為中等用水量家庭，請你通過樣本估計總體中的中等用水量家庭大約有 戶；

（3）從月均用水量在2≤x＜3，8≤x＜9這兩個范圍內(nèi)的樣本家庭中任意抽取2個，請用列表法或畫樹狀圖求抽取出的2個家庭來自不同范圍的概率．

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科目：初中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】某旅行團32人在景區(qū)A游玩，他們由成人、少年和兒童組成．已知兒童10人，成人比少年多12人．

（1）求該旅行團中成人與少年分別是多少人?

（2）因時間充裕，該團準備讓成人和少年（至少各1名）帶領10名兒童去另一景區(qū)B游玩．景區(qū)B的門票價格為100元/張，成人全票，少年8折，兒童6折，一名成人可以免費攜帶一名兒童．

①若由成人8人和少年5人帶隊，則所需門票的總費用是多少元?

②若剩余經(jīng)費只有1200元可用于購票，在不超額的前提下，最多可以安排成人和少年共多少人帶隊?求所有滿足條件的方案，并指出哪種方案購票費用最少．

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科目：初中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】某次數(shù)學測驗中，一道題滿分3分，老師評分只給整數(shù)，即得分只能為0分，1分，2分，3分．李老師為了了解學生得分情況和試題的難易情況，對初三（1）班所有學生的試題進行了分析整理，并繪制了兩幅尚不完整的統(tǒng)計圖，如圖所示．

解答下列問題：

（1）m= ，n= ，并補全條形統(tǒng)計圖；

（2）在初三（1）班隨機抽取一名學生的成績，求抽中的成績?yōu)榈梅直姅?shù)的概率；

（3）根據(jù)右側(cè)“小知識”，通過計算判斷這道題對于該班級來說，屬于哪一類難度的試題？

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【題目】“新冠肺炎”肆虐，無數(shù)抗疫英雄涌現(xiàn)，以下四位抗疫英雄是鐘南山、李蘭娟、李文亮、張定宇（依次記為）．為讓同學們了解四位的事跡，老師設計如下活動：取四張完全相同的卡片，分別寫上四個標號，然后背面朝上放置，攪勻后每個同學從中隨機抽取一張，記下標號后放回，老師要求每位同學依據(jù)抽到的卡片上的標號查找相應抗疫英雄的資料，并做成小報．

（1）班長在四種卡片中隨機抽到標號為的概率為_______．

（2）平平和安安兩位同學抽到的卡片是不同英雄的概率是多少？

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【題目】如圖，拋物線上有一點，的橫坐標為1，過作軸，與拋物線的另一個交點為，且，作軸，垂足為，拋物線與軸正半軸交于點，連結(jié)，與交于點．

（1）當時，①求點的坐標：②求的面積：

（2）當是以為腰的等腰三角形時，求的值．

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【題目】在平面直角坐標系中，點到直線的距離即為點到直線的垂線段的長．

（1）如圖1，取點M（1，0），則點M到直線l：y＝x﹣1的距離為多少？

（2）如圖2，點P是反比例函數(shù)y＝在第一象限上的一個點，過點P分別作PM⊥x軸，作PN⊥y軸，記P到直線MN的距離為d0，問是否存在點P，使d0＝？若存在，求出點P的坐標，若不存在，請說明理由．

（3）如圖3，若直線y＝kx+m與拋物線y＝x2﹣4x相交于x軸上方兩點A、B（A在B的左邊）．且∠AOB＝90°，求點P（2，0）到直線y＝kx+m的距離最大時，直線y＝kx+m的解析式．

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科目：初中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】如圖，已知△ABC，D、E分別在邊AB、AC上，下列條件中，不能確定△ADE∽△ACB的是（　�。�

A. ∠AED＝∠B B. ∠BDE+∠C＝180°

C. ADBC＝ACDE D. ADAB＝AEAC

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【題目】為了落實國務院的指示精神，某地方政府出臺了一系列“三農(nóng)”優(yōu)惠政策，使農(nóng)民收入大幅度增加．某農(nóng)戶生產(chǎn)經(jīng)銷一種農(nóng)產(chǎn)品，已知這種產(chǎn)品的成本價為每千克20元，市場調(diào)查發(fā)現(xiàn)，該產(chǎn)品每天的銷售量y（千克）與銷售價x（元/千克）有如下關系：y=﹣2x+80．設這種產(chǎn)品每天的銷售利潤為w元．

（1）求w與x之間的函數(shù)關系式．

（2）該產(chǎn)品銷售價定為每千克多少元時，每天的銷售利潤最大？最大利潤是多少元？

（3）如果物價部門規(guī)定這種產(chǎn)品的銷售價不高于每千克28元，該農(nóng)戶想要每天獲得150元的銷售利潤，銷售價應定為每千克多少元？

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