Question

【題目】我們定義：有一組對角相等而另一組對角不相等的凸四邊形叫做“等對角四邊形”，例如：如圖，四邊形是“等對角四邊形”，，，，則．

（1）已知：在“等對角四邊形”中，，，，，求對角線的長；

（2）已知：如圖，在平面直角坐標系中，四邊形是“等對角四邊形”，其中，，，點在軸上，拋物線過點、，點在拋物線上，滿足的點至少有3個時，總有不等式成立，求的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）或；（2）．

【解析】

（1）①如圖1，，AE=8，DE=5，，，即可求解；

②如圖2，同理可得，，即可求解；

（2）已知：如圖2，在平面直角坐標系xoy中，四邊形ABCD是“等對角四邊形”，其中A（-2，0），C（2，0），，點D在y軸上，拋物線y=ax2+bx+c（a＜0）過點A、C，點P在拋物線上，當滿足∠APC=∠ADC的P點至少有3個時，總有不等式成立，求n的取值范圍．

解：分兩種情況討論：

①如圖1，時延長，交于點，

∵，∴，又∵，

∴，，，

，，

；

②如圖，時，過分別作于，于點，

∵，又∵，，

，，∴，

，，

；

綜上，或；

（2）∵、、，

∴，，，

∴，∴，

∵，，∴，

∵四邊形是等對角四邊形，

∴，∴

∵拋物線過點、，

∴，

即：，令，

則，

以為圓心，長為半徑作⊙，以為圓心，長為半徑作⊙，如圖所示，⊙交軸正半軸于點，⊙交軸負半軸于點．

當點在優(yōu)弧和優(yōu)弧上時，，當拋物線過點時滿足題意的點有3個，如圖中的、、，

此時，，

當滿足的點至少有3個時，，

當時，，

∵總有不等式成立．

∴，

∴．