Question

如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，⊙C于x軸交于MN兩點(diǎn)，AN是⊙C的直徑，經(jīng)過點(diǎn)A的直線交X軸于點(diǎn)B，連接AM，已知點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0，-

3

），直線AB的函數(shù)解析式為y=-

3

x-5

3

：
（1）點(diǎn)B的坐標(biāo)和AM的長(zhǎng)；
（2）求點(diǎn)A的坐標(biāo)和⊙C的半徑．
（3）求證：AB是⊙C的切線．

Answer 1

分析：（1）在一次函數(shù)的解析式中，令y=0，即可求得B的橫坐標(biāo)，則B的坐標(biāo)可以得到；易證OC是△AMN的中位線，則AM的長(zhǎng)度可以求得；
（2）已知AM的長(zhǎng)度，即已知A的縱坐標(biāo)，代入一次函數(shù)的解析式即可求得橫坐標(biāo)，在直角△OMC中，利用勾股定理即可求得半徑；
（3）分別求得NB、AB、AN的長(zhǎng)度，利用勾股定理的逆定理即可證得AB⊥AN，則可以證得AB是⊙C的切線．

解答：解：（1）在y=-

3

x-5

3

中，令y=0，則y=-

3

x-5

3

=0，解得：x=-5，則B的坐標(biāo)是：（-5，0）．
∵M(jìn)N⊥OC，
∴OM=ON，
又∵AC=CN
∴AM=2OC=2

3

；

（2）∵AM=2

3

；
∴A的縱坐標(biāo)是：-2

3

，
在y=-

3

x-5

3

中，把y=-2

3

代入得：x=-1，
則A的坐標(biāo)是（-3，-2

3

）．
又∵AN是⊙C的直徑，
∴∠AMN=90°
∴OM=3，
則在直角△OCM中，CM=

OM2+OC2

=2

3

，即圓的半徑是2

3

；

（3）在直角△ABM中，AB²=AM²+BM²=（2

3

）²+（OB-OM）²=12+（5-3）²=12+4=16，則AB=

16

=4，
BN=OB+ON=OB+OM=5+3=8，
AN=2AC=2CM=4

3

，
∵4²+（4

3

）²=8²，即AB²+AN²=BN²，
∴△ABN是直角三角形，∠BAN=90°，
∴AB⊥AN，
∴AB是⊙C的切線．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了一次函數(shù)的性質(zhì)，勾股定理以及勾股定理的逆定理，切線的判定，正確求得半徑長(zhǎng)是關(guān)鍵．