Question

【題目】如圖所示，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4cm，BC＝3cm，點(diǎn)P由點(diǎn)B出發(fā)沿BA方向向點(diǎn)A勻速運(yùn)動(dòng)，同時(shí)點(diǎn)Q由點(diǎn)A出發(fā)沿AC方向向點(diǎn)C勻速運(yùn)動(dòng)，它們的速度均為lcm/s．連接PQ，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t（s）（0＜t＜4）．

（1）當(dāng)t為何值時(shí)，PQ⊥AC？

（2）設(shè)△APQ的面積為S，求S與t的函數(shù)關(guān)系式，并求出當(dāng)t為何值時(shí)，S取得最大值？S的最大值是多少？

Answer 1

【答案】（1）t為時(shí)，PQ⊥AC；（2）t＝，S有最大值，最大值為．

【解析】

（1）先根據(jù)勾股定理求得AB=5，再因?yàn)椤?/span>ACB＝90°，所以當(dāng)PQ⊥AC時(shí)，PQ∥BC，從而得出，由運(yùn)動(dòng)知，BP=t，得出AP=5-t，AQ=t，代入前面比例式建立方程即可得出結(jié)論；

（2）過(guò)點(diǎn)P作PH⊥AC于H，由△APH∽△ABC，得出＝，從而求出AB，再根據(jù)＝，，得出PH=3-t，則△AQP的面積為：AQPH=t（3-t），最后進(jìn)行整理即可得出答案；

（1）∵PQ⊥AC，

∴∠AQP＝∠C＝90°，

∴PQ∥BC，

∴＝，

在Rt△ACB中，AB＝＝＝5，

∴＝，

解得t＝，

∴t為時(shí)，PQ⊥AC．

（2）如圖，作PH⊥AC于H．

∵PH∥，

∴△APH∽△ABC，

∴＝，

∴＝，

∴PH＝（5﹣t），

∴S＝AQPH＝t（5﹣t）＝﹣t2+t＝﹣（t﹣）2+，

∵﹣＜0，

∴t＝，S有最大值，最大值為．