Question

如圖，四邊形ABCD是菱形，對(duì)角線AC與BD交于點(diǎn)O，且AC＝80，BD＝60．動(dòng)點(diǎn)M、N分別以每秒１個(gè)單位的速度從點(diǎn)A、D同時(shí)出發(fā)，分別沿A→O→D和D→A運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)N到達(dá)點(diǎn)A時(shí)，M、N同時(shí)停止運(yùn)動(dòng)．設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒．

(1)求菱形ABCD的周長(zhǎng)；

(2)記△DMN的面積為S，求S關(guān)于t的解析式，并求S的最大值；

(3)當(dāng)t＝30秒時(shí)，在線段OD的垂直平分線上是否存在點(diǎn)P，使得∠DPO＝∠DON？若存在，這樣的點(diǎn)P有幾個(gè)？并求出點(diǎn)P到線段OD的距離；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

答案：
解析：

(1)在菱形ABCD中， 　　∵AC⊥BD 　　∴AD＝＝50． 　　∴菱形ABCD的周長(zhǎng)為200．　4分 　　(2)過(guò)點(diǎn)M作MP⊥AD，垂足為點(diǎn)P． 　�、佼�(dāng)0＜t≤40 　　∵ 　　∴MP＝ 　　∴ 　　＝　6分 　�、诋�(dāng)40＜t，∴ 　　∵Sin 　　∴MP＝ 　　∴ 　　　8分 　　∴ 　　當(dāng)0＜t≤40時(shí)，S隨t的增大而增大，當(dāng)t＝40時(shí)，最大值為480． 　　當(dāng)40＜t≤50時(shí)，S隨t的增大而減小，當(dāng)t＝40時(shí)，最大值為480． 　　綜上所述，S的最大值為480．　9分 　　(3)存在2個(gè)點(diǎn)P，使得∠DPO＝∠DON．　10分 　　方法一：過(guò)點(diǎn)N作NF⊥OD于點(diǎn)F， 　　則，DF＝ 　　∴OF＝12，∴　11分 　　作的平分線交NF于點(diǎn)G，過(guò)點(diǎn)G作GH⊥ON于點(diǎn)H． 　　∴ 　　∴FG＝ 　　∴ 　　設(shè)OD中垂線與OD的交點(diǎn)為K，由對(duì)稱性可知： 　　∴　12分 　　∴ 　　∴PK＝　13分 　　根據(jù)菱形的對(duì)稱性可知，在線段OD的下方存在與點(diǎn)P關(guān)于OD軸對(duì)稱的點(diǎn)． 　　∴存在兩個(gè)點(diǎn)P到OD的距離都是．　14分 　　方法二：如圖，作ON的垂直平分線，交EF于點(diǎn)I，連結(jié)OI，IN．過(guò)點(diǎn)N作NG⊥OD，NH⊥EF，垂足分別為G，H． 　　當(dāng)t＝30時(shí)，DN＝OD＝30，易知△DNG∽△DAO， 　　∴． 　　即． 　　∴NG＝24，DG＝18．　10分 　　∵EF垂直平分OD， 　　∴OE＝ED＝15，EG＝NH＝3．　11分 　　設(shè)OI＝R，EI＝x，則 　　在Rt△OEI中，有R2＝152＋x2　　�、� 　　在Rt△NIH中，有R2＝32＋(24－x)2�、� 　　由①、②可得： 　　∴PE＝PI＋IE＝．　13分 　　根據(jù)對(duì)稱性可得，在BD下方還存在一個(gè)點(diǎn)也滿足條件． 　　∴存在兩個(gè)點(diǎn)P，到OD的距離都是．　14分 　　(注：只求出一個(gè)點(diǎn)P并計(jì)算正確的扣1分．)