【題目】四邊形ABCD為正方形,點E為線段AC上一點,連接DE,過點E作EF⊥DE,交射線BC于點F,以DE、EF為鄰邊作矩形DEFG,連接CG.
(1)如圖1,求證:矩形DEFG是正方形;
(2)若AB=2,CE=,求CG的長度;
(3)當線段DE與正方形ABCD的某條邊的夾角是30°時,直接寫出∠EFC的度數(shù).
【答案】(1)證明見解析;(2)CG= ;(3)∠EFC=120°或30°.
【解析】分析: (1)作EP⊥CD于P,EQ⊥BC于Q,證明Rt△EQF≌Rt△EPD,得到EF=ED,根據(jù)正方形的判定定理證明即可;
(2)通過計算發(fā)現(xiàn)E是AC中點,點F與C重合,△CDG是等腰直角三角形,由此即可解決問題.
(3)分兩種情形考慮問題即可
詳解:
(1)證明:作EP⊥CD于P,EQ⊥BC于Q,
∵∠DCA=∠BCA,
∴EQ=EP,
∵∠QEF+∠FEC=45°,∠PED+∠FEC=45°,
∴∠QEF=∠PED,
在Rt△EQF和Rt△EPD中,
,
∴Rt△EQF≌Rt△EPD,
∴EF=ED,
∴矩形DEFG是正方形;
(2)如圖2中,在Rt△ABC中.AC=AB=2,
∵EC=,
∴AE=CE,
∴點F與C重合,此時△DCG是等腰直角三角形,易知CG=.
(3)①當DE與AD的夾角為30°時,∠EFC=120°,
②當DE與DC的夾角為30°時,∠EFC=30°
綜上所述,∠EFC=120°或30°.
點睛: 本題考查正方形的性質(zhì)、矩形的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)、勾股定理等知識,解題的關鍵是靈活運用所學知識解決問題,學會用分類討論的思想思考問題.
科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】2017年李明家買了一輛轎車,他連續(xù)記錄了一周中每天行駛的路程(如下表),以50km為標準,多于50km的記“+”,不足50km的記“-”,剛好506m的記“0”.
周一 | 周二 | 周三 | 周四 | 周五 | 周六 | 周日 | |
路程(km) | -6 | 0 | -12 | 7 | -9 | +15 | +12 |
(1)請你求出李明家轎車一周中平均每天行駛多少千米?
(2)如果每行駛100km需要汽油8升,汽油價格6.85元/升,請計算李明家轎車一個月(按30天計算)的汽油費是多少元(精確到個位)?
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】下列變形中:
①由方程=2去分母,得x﹣12=10;
②由方程x=兩邊同除以,得x=1;
③由方程6x﹣4=x+4移項,得7x=0;
④由方程2﹣兩邊同乘以6,得12﹣x﹣5=3(x+3).
錯誤變形的個數(shù)是( 。﹤.
A. 4 B. 3 C. 2 D. 1
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知一次函數(shù)y=(3-k)x-2k2+18.
(1)當k為何值時,它的圖象經(jīng)過原點?
(2)當k為何值時,它的圖象經(jīng)過點(0,-2)?
(3)當k為何值時,它的圖象平行于直線y=-x?
(4)當k為何值時,y隨x增大而減。
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】點A,O,B依次在直線MN上,如圖1,現(xiàn)將射線OA繞點O順時針方向以每秒10°的速度旋轉(zhuǎn),同時射線OB繞著點O按逆時針方向以每秒15°的速度旋轉(zhuǎn),直線MN保持不動,如圖2,設旋轉(zhuǎn)時間為t秒(t≤12).
(1)在旋轉(zhuǎn)過程中,當t=2時,求∠AOB的度數(shù).
(2)在旋轉(zhuǎn)過程中,當∠AOB=105°時,求t的值.
(3)在旋轉(zhuǎn)過程中,當OA或OB是某一個角(小于180°)的角平分線時,求t的值.
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,在平行四邊形ABCD中,AC=12,BD=8,P是AC上的一個動點,過點P作EF∥BD,與平行四邊形的兩條邊分別交于點E,F(xiàn).設CP=x,EF=y,則下列圖象中,能表示y與x的函數(shù)關系的圖象大致是( )
A.
B.
C.
D.
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知:A是以BC為直徑的圓上的一點,BE是⊙O的切線,CA的延長線與BE交于E點,F(xiàn)是BE的中點,延長AF,CB交于點P.
(1)求證:PA是⊙O的切線;
(2)若AF=3,BC=8,求AE的長.
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】在求1+3+32+33+34+35+36+37+38的值時,張紅發(fā)現(xiàn):從第二個加數(shù)起每一個加數(shù)都是前一個加數(shù)的3倍,于是她假設:S=1+3+32+33+34+35+36+37+38 ①,然后在①式的兩邊都乘以3,得:3S=3+32+33+34+35+36+37+38+39 ②,
②一①得:3S―S=39-1,即2S=39-1,
∴S=.
得出答案后,愛動腦筋的張紅想:如果把“3”換成字母m(m≠0且m≠1),能否求出1+m+m2+m3+m4+…+m2016的值?如能求出,其正確答案是___________.
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖1有兩條長度相等的相交線段AB、CD,它們相交的銳角中有一個角為60°,為了探究AD、CB與CD(或AB)之間的關系,小亮進行了如下嘗試:
(1)在其他條件不變的情況下使得AD∥BC,如圖2,將線段AB沿AD方向平移AD的長度,得到線段DE,然后聯(lián)結(jié)BE,進而利用所學知識得到AD、CB與CD(或AB)之間的關系: ;(直接寫出結(jié)果)
(2)根據(jù)小亮的經(jīng)驗,請對圖1的情況(AD與CB不平行)進行嘗試,寫出AD、CB與CD(或AB)之間的關系,并進行證明;
(3)綜合(1)、(2)的證明結(jié)果,請寫出完整的結(jié)論: .
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