【題目】四邊形ABCD為正方形,點E為線段AC上一點,連接DE,過點EEF⊥DE,交射線BC于點F,以DE、EF為鄰邊作矩形DEFG,連接CG.

(1)如圖1,求證:矩形DEFG是正方形;

(2)若AB=2,CE=,求CG的長度;

(3)當線段DE與正方形ABCD的某條邊的夾角是30°時,直接寫出∠EFC的度數(shù).

【答案】(1)證明見解析;(2)CG= ;(3)∠EFC=120°或30°.

【解析】分析: (1)作EP⊥CDP,EQ⊥BCQ,證明Rt△EQF≌Rt△EPD,得到EF=ED,根據(jù)正方形的判定定理證明即可;

(2)通過計算發(fā)現(xiàn)EAC中點,點FC重合,△CDG是等腰直角三角形,由此即可解決問題.

(3)分兩種情形考慮問題即可

詳解:

(1)證明:作EPCDP,EQBCQ,

∵∠DCA=BCA,

EQ=EP,

∵∠QEF+FEC=45°,PED+FEC=45°,

∴∠QEF=PED,

RtEQFRtEPD中,

RtEQFRtEPD,

EF=ED,

∴矩形DEFG是正方形;

(2)如圖2中,在RtABC中.AC=AB=2,

EC=,

AE=CE,

∴點FC重合,此時△DCG是等腰直角三角形,易知CG=

(3)①當DEAD的夾角為30°時,∠EFC=120°,

②當DEDC的夾角為30°時,∠EFC=30°

綜上所述,∠EFC=120°30°.

點睛: 本題考查正方形的性質(zhì)、矩形的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)、勾股定理等知識,解題的關鍵是靈活運用所學知識解決問題,學會用分類討論的思想思考問題.

練習冊系列答案
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【題目】2017年李明家買了一輛轎車,他連續(xù)記錄了一周中每天行駛的路程(如下表),以50km為標準,多于50km的記“+”,不足50km的記“-”,剛好506m的記“0”.

周一

周二

周三

周四

周五

周六

周日

路程(km

-6

0

-12

7

-9

+15

+12

(1)請你求出李明家轎車一周中平均每天行駛多少千米?

(2)如果每行駛100km需要汽油8升,汽油價格6.85/升,請計算李明家轎車一個月(按30天計算)的汽油費是多少元(精確到個位)?

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【題目】下列變形中:

①由方程=2去分母,得x﹣12=10;

②由方程x=兩邊同除以,得x=1;

③由方程6x﹣4=x+4移項,得7x=0;

④由方程2﹣兩邊同乘以6,得12﹣x﹣5=3(x+3).

錯誤變形的個數(shù)是( 。﹤

A. 4 B. 3 C. 2 D. 1

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【題目】已知一次函數(shù)y=(3-k)x-2k2+18.

(1)當k為何值時,它的圖象經(jīng)過原點?

(2)當k為何值時,它的圖象經(jīng)過點(0,-2)?

(3)當k為何值時,它的圖象平行于直線y=-x?

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【題目】A,O,B依次在直線MN上,如圖1,現(xiàn)將射線OA繞點O順時針方向以每秒10°的速度旋轉(zhuǎn),同時射線OB繞著點O按逆時針方向以每秒15°的速度旋轉(zhuǎn),直線MN保持不動,如圖2,設旋轉(zhuǎn)時間為t秒(t≤12).

(1)在旋轉(zhuǎn)過程中,當t=2時,求∠AOB的度數(shù).

(2)在旋轉(zhuǎn)過程中,當∠AOB=105°時,求t的值.

(3)在旋轉(zhuǎn)過程中,當OAOB是某一個角(小于180°)的角平分線時,求t的值.

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【題目】如圖,在平行四邊形ABCD中,AC=12,BD=8,P是AC上的一個動點,過點P作EF∥BD,與平行四邊形的兩條邊分別交于點E,F(xiàn).設CP=x,EF=y,則下列圖象中,能表示y與x的函數(shù)關系的圖象大致是( )

A.
B.
C.
D.

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【題目】已知:A是以BC為直徑的圓上的一點,BE是⊙O的切線,CA的延長線與BE交于E點,F(xiàn)是BE的中點,延長AF,CB交于點P.

(1)求證:PA是⊙O的切線;
(2)若AF=3,BC=8,求AE的長.

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得:3SS=39-1,即2S=39-1,

S=.

得出答案后,愛動腦筋的張紅想:如果把3換成字母m(m0且m1),能否求出1+m+m2+m3+m4+m2016的值?如能求出,其正確答案是___________.

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(2)根據(jù)小亮的經(jīng)驗,請對圖1的情況(ADCB不平行)進行嘗試,寫出AD、CBCD(或AB)之間的關系,并進行證明;

(3)綜合(1)、(2)的證明結(jié)果,請寫出完整的結(jié)論:   

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