Question

在△ABC中，AB=AC，CD⊥AB于點D，CE為△ACD的角平分線，EF⊥BC于點F,EF交CD于點G

(1)如圖l，求證：BE=CG；

(2)如圖2，點M在AC上，AM=AD，連接BM交CE于點N，過點G做GH⊥CE于點H，若△EGH的面積為l8，AD=3ED，求EN盼長．

Answer 1

（1）證明：過點A作AP⊥BC于點P, ∠APB=90°

∵AB=AC, ∴∠BAP=∠PAC  ∵CD⊥AB, ∴∠B+∠BCD=180°-∠CDB=90°

∵∠B+∠BAP=180°-∠APB=90°  ∴∠BAP=∠PAC=∠BCD         1分

∵CE平分∠DCA  ∴∠ACE=∠ECD

∵∠APC+PCA+∠PAC=180° ∴∠ACE+∠DCE+∠PCD+∠PAC=180°

∴2(∠BCD+∠ECD) =90°∴∠BCE=45°   1分 

∵EF⊥BC, ∴∠EFC=90°

∴∠FEC=180°-∠EFC-∠ECF=45°∴∠FEC=∠ECF  ∴ EF=FC    1分

∵EF⊥BC, ∠EFC=∠APC=90°∴EF∥AP ∴∠BEF=∠BAP=∠BCD  1分

∵EF⊥BC ∴∠BFE=∠EFC=90° ∴△BFE≌△GFC   ∴BE=CG    1分

（2）過點E作ER⊥AC于點R

∵CE 平分∠DCA  CD⊥AB, ER⊥AC  ∴ED=ER  ∵AD=3ED  ∴AE=2ER  

延長ER至點S使ER=RS, ∵ER⊥AC  ∴AE=AS, ∵AE=2ER=ES

∴△AES為等邊三角形

∴∠EAS=60°  ∴∠BAC=∠EAS= 30°  1分

∵GH⊥EC, ∠FEC=45°∴∠EGH=180°-90°-45°=45°

∴∠EGH=∠GEH  ∴EH=HG

∵△EGH的面積為18   ∴ ∴EH=GH=6      1分

∵∠DCA=180°-∠ADC-∠BAC=60°∴∠DCE=30° ∵GH=6  

∠GHC =90°∴CG=12

由(1）知BE=CG=12           1分

∵AM=AD,AB=AC, ∠BAM=∠CAD  ∴△BAM≌△CAD ∴∠ABM=∠ACD=60° 1分

∵∠DEC=180°-∠EDC-∠ECD=60° ∴∠DEC=∠EBN, NE=NB ∴ △EBN為等邊三角形

∴EN=BE=12               1分