Question

如圖．已知A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A（0，），B（2，0）．直線AB與反比例函數(shù)的圖象交于點(diǎn)C和點(diǎn)D（-1，a）．
（1）求直線AB和反比例函數(shù)的解析式．
（2）求∠ACO的度數(shù)．
（3）將△OBC繞點(diǎn)O逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)α角（α為銳角），得到△OB′C′，當(dāng)α為多少時(shí)，OC′⊥AB，并求此時(shí)線段AB’的長．

Answer 1

【答案】分析：（1）設(shè)直線AB的解析式為：y=kx+b，把A（0，），B（2，0）分別代入，得到a，b方程組，解出a，b，得到直線AB的解析式；把D點(diǎn)坐標(biāo)代入直線AB的解析式，確定D點(diǎn)坐標(biāo)，再代入反比例函數(shù)解析式確定m的值；
（2）由y=-x+2和y=-聯(lián)立解方程組求出C點(diǎn)坐標(biāo)（3，-），利用勾股定理計(jì)算出OC的長，得到OA=OC；在Rt△OAB中，利用勾股定理計(jì)算AB，得到∠OAB=30°，從而得到∠ACO的度數(shù)；
（3）由∠ACO=30°，要OC′⊥AB，則∠COC′=90°-30°=60°，即α=60°，得到∠BOB′=60°，而∠OBA=60°，得到△OBB′為等邊三角形，于是有B′在AB上，BB′=2，即可求出AB′．
解答：解：（1）設(shè)直線AB的解析式為：y=kx+b，
把A（0，），B（2，0）分別代入，得，解得k=-，b=2
∴直線AB的解析式為：y=-x+2；
∵點(diǎn)D（-1，a）在直線AB上，
∴a=+2=3，即D點(diǎn)坐標(biāo)為（-1，3），
又∵D點(diǎn)（-1，3）在反比例函數(shù)的圖象上，
∴m=-1×3=-3，
∴反比例函數(shù)的解析式為：y=-；

（2）過C點(diǎn)作CE⊥x軸于E，如圖，
根據(jù)題意得，解得或，
∴C點(diǎn)坐標(biāo)為（3，-），
∴OE=3，CE=，
∴OC==2，
而OA=2，
∴OA=OC，
又∵OB=2，
∴AB==4，
∴∠OAB=30°，
∴∠ACO=30°；

（3）∵∠ACO=30°，
而要OC′⊥AB，
∴∠COC′=90°-30°=60°，
即△OBC繞點(diǎn)O逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)α角（α為銳角），得到△OB′C′，當(dāng)α為60°時(shí)，OC′⊥AB；如圖，
∴∠BOB′=60°，
∴點(diǎn)B'在AB上，
而∠OBA=60°，
∴BB′=2，
∴AB′=4-2=2．
點(diǎn)評：本題考查了利用待定系數(shù)法求圖象的解析式．也考查了點(diǎn)在函數(shù)圖象上，點(diǎn)的橫縱坐標(biāo)滿足函數(shù)圖象的解析式和旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)以及含30度的直角三角形三邊的關(guān)系．