“勾股弦”后人概括為“勾3、股4、弦5.”
(1)觀察:3、4、5;5、12、13;7、24、25;…,發(fā)現(xiàn)這幾組勾股數(shù)的勾都是奇數(shù),且從3起就沒有間斷過,計算數(shù)學(xué)公式(9-1),數(shù)學(xué)公式(9+1);數(shù)學(xué)公式(25-1),數(shù)學(xué)公式(25+1);并根據(jù)你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律,分別寫出能表示7、24、25這一組數(shù)的股與弦的算式.
(2)根據(jù)(1)的規(guī)律,若用n(n為奇數(shù),且n≥3)來表示所有這些勾股數(shù)的勾,請直接用n的代數(shù)式來表示它們的股和弦.
(3)繼續(xù)觀察:4、3、5;6、8、10;8、15、17;…,發(fā)現(xiàn)各組的第一個數(shù)都是偶數(shù),且從4起也沒有間斷過.利用類似上述探索的方法,若用m(m為偶數(shù),且m≥4)來表示所有這些勾股數(shù)的勾,請分別用m的代數(shù)式來表示它們的股和弦.

解:(1)∵(9-1)=4,(9+1)=5;(25-1)=12,(25+1)=13;
∴表示7、24、25這一組數(shù)的股與弦的算式股:(49-1)=(72-1),弦:(49+1)=(72+1);
(2)用n(n為奇數(shù),且n≥3)的代數(shù)式來表示,股:(n2-1),弦:(n2+1);
(3)用m(m為偶數(shù),且m≥4)的代數(shù)式來表示,股:m2-1,弦:m2+1.
分析:(1)通過計算,發(fā)現(xiàn)規(guī)律為:股是勾的平方減1的一半,弦是勾的平方加1的一半,從而寫出結(jié)果;
(2)由(1)可知,用n來表示所有這些勾股數(shù)的勾,則其股是n的平方減1的一半,弦是n的平方加1的一半;
(3)根據(jù)以上探索規(guī)律,偶數(shù)開頭的各組數(shù)字,其股是勾的平方的四分之一減1,其弦是勾的平方的四分之一加1.
點評:本題是研究勾股數(shù),考查學(xué)生觀察、分析、類比和猜想解決問題的能力.屬于探索性題目,有利于培養(yǎng)同學(xué)們的發(fā)散思維能力.
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

據(jù)我國古代《周髀算經(jīng)》記載,公元前1120年商高對周公說,將一根直尺折成一個直角,兩端連接得到一個直角三角形,如果勾是三,股是四,那么弦就等于五.后人概括為“勾三、股四、弦五”.
(1)觀察:3,4,5;5,12,13;7,24,25;…,小明發(fā)現(xiàn)這些勾股數(shù)的勾都是奇數(shù),且從3起就沒有間斷過,
當(dāng)勾=3時,股4=
1
2
(9-1),弦5=
1
2
(9+1);
當(dāng)勾=5時,股12=
1
2
(25-1),弦13=
1
2
(25+1);
------
請你根據(jù)小明發(fā)現(xiàn)的規(guī)律用n(n為奇數(shù)且n≥3)的代數(shù)式來表示所有這些勾股數(shù)的勾
 
、股
 
、弦
 
,并猜想他們之間的相等關(guān)系(寫二種)并對其中一種猜想加以證明;
(2)繼續(xù)觀察4,3,5;6,8,10;8,15,17;…,可以發(fā)現(xiàn)各組的第一個數(shù)都是偶數(shù),且從4起也沒有間斷過.請你直接用m(m為偶數(shù)且m≥4)的代數(shù)式來表示他們的股和弦.

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

據(jù)我國古代《周髀算經(jīng)》記載,公元前1120年商高對周公說,將一根直尺折成一個直角,兩端連接得一個直角三角形,如果勾是三、股是四,那么弦就等于五.后人概括為“勾三,股四,弦五”.
(1)觀察:3,4,5;5,12,13;7,24,25;…,發(fā)現(xiàn)這些勾股數(shù)的勾都是奇數(shù),且從3起就沒有間斷過.計算
1
2
(9-1)、
1
2
(9+1)與
1
2
(25-1)、
1
2
(25+1),并根據(jù)你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律,分別寫出能表示7,24,25的股和弦的算式;
(2)根據(jù)(1)的規(guī)律,用n(n為奇數(shù)且n≥3)的代數(shù)式來表示所有這些勾股數(shù)的勾、股、弦,合情猜想他們之間二種相等關(guān)系并對其中一種猜想加以證明;
(3)繼續(xù)觀察4,3,5;6,8,10;8,15,17;…,可以發(fā)現(xiàn)各組的第一個數(shù)都是偶數(shù),且從4起也沒有間斷過.運用類似上述探索的方法,直接用m(m為偶數(shù)且m>4)的代數(shù)式來表示他們的股和弦.

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

“勾股弦”后人概括為“勾3、股4、弦5.”
(1)觀察:3、4、5;5、12、13;7、24、25;…,發(fā)現(xiàn)這幾組勾股數(shù)的勾都是奇數(shù),且從3起就沒有間斷過,計算
1
2
(9-1),
1
2
(9+1);
1
2
(25-1),
1
2
(25+1);并根據(jù)你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律,分別寫出能表示7、24、25這一組數(shù)的股與弦的算式.
(2)根據(jù)(1)的規(guī)律,若用n(n為奇數(shù),且n≥3)來表示所有這些勾股數(shù)的勾,請直接用n的代數(shù)式來表示它們的股和弦.
(3)繼續(xù)觀察:4、3、5;6、8、10;8、15、17;…,發(fā)現(xiàn)各組的第一個數(shù)都是偶數(shù),且從4起也沒有間斷過.利用類似上述探索的方法,若用m(m為偶數(shù),且m≥4)來表示所有這些勾股數(shù)的勾,請分別用m的代數(shù)式來表示它們的股和弦.

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:解答題

“勾股弦”后人概括為“勾3、股4、弦5.”
(1)觀察:3、4、5;5、12、13;7、24、25;…,發(fā)現(xiàn)這幾組勾股數(shù)的勾都是奇數(shù),且從3起就沒有間斷過,計算
1
2
(9-1),
1
2
(9+1);
1
2
(25-1),
1
2
(25+1);并根據(jù)你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律,分別寫出能表示7、24、25這一組數(shù)的股與弦的算式.
(2)根據(jù)(1)的規(guī)律,若用n(n為奇數(shù),且n≥3)來表示所有這些勾股數(shù)的勾,請直接用n的代數(shù)式來表示它們的股和弦.
(3)繼續(xù)觀察:4、3、5;6、8、10;8、15、17;…,發(fā)現(xiàn)各組的第一個數(shù)都是偶數(shù),且從4起也沒有間斷過.利用類似上述探索的方法,若用m(m為偶數(shù),且m≥4)來表示所有這些勾股數(shù)的勾,請分別用m的代數(shù)式來表示它們的股和弦.

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