Question

如圖，四邊形ABCD中，AC＝6，BD＝8，且AC⊥BD，順次連接四邊形ABCD各邊中點，得到四邊形A₁B₁C₁D₁；再順次連接四邊形A₁B₁C₁D₁各邊中點，得到四邊形A₂B₂C₂D₂……如此進行下去得到四邊形A_nB_nC_nD_n．(1)證明：四邊形A₁B₁C₁D₁是矩形；(2)寫出四邊形A₁B₁C₁D₁和四邊形A₂B₂C₂D₂的面積；(3)寫出四邊形A_nB_nC_nD_n的面積；(4)求四邊形A₅B₅C₅D₅的周長．

Answer 1

答案：
解析：

(1)∵點A1、D1分別是AB、AD的中點，∴A1D1是△ABD的中位線． 　　∴A1D1∥BD，A1D1＝BD． 　　同理：B1C1∥BD，B1C1＝BD． 　　∴A1D1∥B1C1，A1D1＝B1C1， 　　∴四邊形A1B1C1D1是平行四邊形． 　　∵AC⊥BD，AC∥A1B1，BD∥A1D1，∴A1B1⊥A1D1， 　　即∠B1AD1＝， 　　∴四邊形A1B1C1D1是矩形． 　　(2)四邊形A1B1C1D1的面積為12，四邊形A2B2C2D2的面積為6． 　　(3)四邊形AnBnCnDn的面積為24×． 　　(4)由(1)得矩形A1B1C1D1的長為4，寬為3． 　　∵矩形A5B5C5D5～矩形A1B1C1C1D1， 　　∴可設(shè)矩形A5B5C5D5的長為4x，寬為3x， 　　則4x·3x＝×24，x＝，4x＝1，3x＝． 　　∴矩形A5B5C5D5的周長＝2·(1＋)＝．