Question

【題目】在平面直角坐標系中，點O為坐標原點，拋物線y＝ax2+bx+c與x軸交于點A（﹣1，0），B（3，0），與y軸交于點C（0，3），頂點為G．

（1）求拋物線和直線AC的解析式；

（2）如圖，設E（m，0）為x軸上一動點，若△CGE和△CGO的面積滿足S△CGE＝S△CGO，求點E的坐標；

（3）如圖，設點P從點A出發(fā)，以每秒1個單位長度的速度沿x軸向右運動，運動時間為ts，點M為射線AC上一動點，過點M作MN∥x軸交拋物線對稱軸右側部分于點N．試探究點P在運動過程中，是否存在以P，M，N為頂點的三角形為等腰直角三角形？若存在，求出t的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）拋物線解析式為：y＝﹣x2+2x+3；直線AC解析式為：y＝3x+3；（2）點E坐標為（1，0）或（﹣7，0）；（3）存在以P，M，N為頂點的三角形為等腰直角三角形，t的值為或或．

【解析】

（1）用待定系數(shù)法即能求出拋物線和直線AC解析式．

（2）△CGE與△CGO雖然有公共底邊CG，但高不好求，故把△CGE構造在比較好求的三角形內(nèi)計算．延長GC交x軸于點F，則△FGE與△FCE的差即為△CGE．

（3）設M的坐標（e，3e+3），分別以M、N、P為直角頂點作分類討論，利用等腰直角三角形的特殊線段長度關系，用e表示相關線段并列方程求解，再根據(jù)e與AP的關系求t的值．

（1）∵拋物線y=ax2+bx+c過點A（-1，0），B（3，0），C（0，3），

, 解得：，

∴拋物線解析式為：y=-x2+2x+3，

設直線AC解析式為y=kx+3，

∴-k+3=0，得：k=3，

∴直線AC解析式為：y=3x+3.

（2）延長GC交x軸于點F，過G作GH⊥x軸于點H，

∵y=-x2+2x+3=-（x-1）2+4，

∴G（1，4），GH=4，

∴S△CGO=OCxG=×3×1=，

∴S△CGE=S△CGO=×=2，

①若點E在x軸正半軸上，

設直線CG：y=k1x+3，

∴k1+3=4 得：k1=1，

∴直線CG解析式：y=x+3，

∴F（-3，0），

∵E（m，0），

∴EF=m-（-3）=m+3，

∴S△CGE=S△FGE-S△FCE=EFGH-EFOC=EF（GH-OC）=（m+3）（4-3）=，

∴=2，解得：m=1，

∴E的坐標為（1，0）.

②若點E在x軸負半軸上，則點E到直線CG的距離與點（1，0）到直線CG距離相等，

即點E到F的距離等于點（1，0）到F的距離，

∴EF=-3-m=1-（-3）=4，

解得：m=-7 即E（-7，0），

綜上所述，點E坐標為（1，0）或（-7，0）.

（3）存在以P，M，N為頂點的三角形為等腰直角三角形，

設M（e，3e+3），則yN=yM=3e+3，

①若∠MPN=90°，PM=PN，如圖2，過點M作MQ⊥x軸于點Q，過點N作NR⊥x軸于點R，

∵MN∥x軸，

∴MQ=NR=3e+3，

∴Rt△MQP≌Rt△NRP（HL），

∴PQ=PR，∠MPQ=∠NPR=45°，

∴MQ=PQ=PR=NR=3e+3，

∴xN=xM+3e+3+3e+3=7e+6，即N（7e+6，3e+3），

∵N在拋物線上，

∴-（7e+6）2+2（7e+6）+3=3e+3，

解得：e1=-1（舍去），e2=，

∵AP=t，OP=t-1，OP+OQ=PQ，

∴t-1-e=3e+3，

∴t=4e+4=，

②若∠PMN=90°，PM=MN，如圖3，

∴MN=PM=3e+3，

∴xN=xM+3e+3=4e+3，即N（4e+3，3e+3），

∴-（4e+3）2+2（4e+3）+3=3e+3，

解得：e1=-1（舍去），e2=，

∴t=AP=e-（-1）=+1＝，

③若∠PNM=90°，PN=MN，如圖4，

∴MN=PN=3e+3，N（4e+3，3e+3），

解得：e=，

∴t=AP=OA+OP=1+4e+3=，

綜上所述，存在以P，M，N為頂點的三角形為等腰直角三角形，t的值為或或．