Question

如圖，A、P、B、C是⊙O上的四點(diǎn)，∠APC＝∠BPC＝60° ，AB與PC交于Q點(diǎn)．

(1)判斷△ABC的形狀，并證明你的結(jié)論；

(2)求證：；

(3)若∠ABP＝15°，△ABC的面積為4，求PC的長(zhǎng)．

Answer 1

答案：
解析：

(1)∵∠ABC＝∠APC＝60°，∠BAC＝∠BPC＝60°， 　　∴∠ACB＝180°－∠ABC－∠BAC＝60°， 　　∴△ABC是等邊三角形． 　　(2)如圖，過(guò)B作BD∥PA交PC于D，則∠BDP＝∠APC＝60°． 　　又∵∠AQP＝∠BQD，∴△AQP∽△BQD，． 　　∵∠BPD＝∠BDP＝60°，∴PB＝BD．∴． 　　(3)設(shè)正△ABC的高為h，則h＝BC·sin60°． 　　∵BC·h＝4，即BC·BC·sin60°＝4，解得BC＝4． 　　連接OB，OC，OP，作OE⊥BC于E． 　　由△ABC是正三角形知∠BOC＝120°，從而得∠OCE＝30°， 　　∴． 　　由∠ABP＝15°得∠PBC＝∠ABC＋∠ABP＝75°，于是∠POC＝2∠PBC＝150°． 　　∴∠PCO＝(180°－150°)÷2＝15°． 　　如圖，作等腰直角△RMN，在直角邊RM上取點(diǎn)G，使∠GNM＝15°，則∠RNG＝30°，作GH⊥RN，垂足為H．設(shè)GH＝1，則cos∠GNM＝cos15°＝MN． 　　∵在Rt△GHN中，NH＝GN·cos30°，GH＝GN·sin30°． 　　于是RH＝GH，MN＝RN·sin45°，∴cos15°＝． 　　在圖中，作OF⊥PC于E，∴PC＝2FD＝2OC·cos15°＝．