![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/upload/201405/5368a21596bf9.png)
解:(1)當(dāng)A′B′過(guò)點(diǎn)B時(shí),α=60°;
(2)猜想:①如圖1,點(diǎn)D在AB邊上時(shí),m=2;
②如圖2,點(diǎn)D在AB的延長(zhǎng)線上時(shí),m=4.
證明:①當(dāng)0°<α<90°時(shí),點(diǎn)D在AB邊上(如圖1).
∵DE∥A′B′,
∴
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/418486.png)
.
由旋轉(zhuǎn)性質(zhì)可知,CA=CA′,CB=CB′,∠ACD=∠BCE.
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/upload/201405/5368a215a3b73.png)
∴
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/418487.png)
.
∴△CAD∽△CBE.
∴∠A=∠CBE=30°.
∵點(diǎn)D在AB邊上,∠CBD=60°,
∴∠CBD=2∠CBE,即m=2.
②當(dāng)90°<α<120°時(shí),點(diǎn)D在AB的延長(zhǎng)線上(如圖2).
與①同理可得∠A=∠CBE=30°.
∵點(diǎn)D在AB的延長(zhǎng)線上,∠CBD=180°-∠CBA=120°,
∴∠CBD=4∠CBE,
即m=4;
(3)在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠A=30°,BC=1,
∴AB=2,
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/4307.png)
,
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/74972.png)
.
由△CAD∽△CBE得
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/548724.png)
.
∵AD=x,
∴
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/558914.png)
,
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/558915.png)
.
①當(dāng)點(diǎn)D在AB邊上時(shí),AD=x,BD=AB-AD=2-x,∠DBE=90°.
此時(shí),
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/418490.png)
.
當(dāng)S=
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/93370.png)
時(shí),
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/418491.png)
.
整理,得x
2-2x+1=0.
解得x
1=x
2=1,即AD=1.
此時(shí)D為AB中點(diǎn),∠DCB=60°,∠BCE=30°=∠CBE.(如圖3)
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/upload/201405/5368a215aca61.png)
∴EC=EB.
∵∠A′CB′=90°,點(diǎn)E在CB′邊上,
∴圓心E到A′C的距離EC等于⊙E的半徑EB.
∴直線A′C與⊙E相切.
②當(dāng)點(diǎn)D在AB的延長(zhǎng)線上時(shí),AD=x,BD=x-2,∠DBE=90°.(如圖2).
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/418492.png)
.
當(dāng)S=
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/93370.png)
時(shí),
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/418493.png)
.
整理,得x
2-2x-1=0.
解得
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/21635.png)
,
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/21636.png)
(負(fù)值,舍去).
即
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/418494.png)
.
此時(shí)∠BCE=α,而90°<α<120°,∠CBE=30°,
∴∠CBE<∠BCE.
∴EC<EB,即圓心E到A′C的距離EC小于⊙E的半徑EB.
∴直線A′C與⊙E相交.
分析:(1)有旋轉(zhuǎn)可得出∠α;
(2)①如圖1,點(diǎn)D在AB邊上時(shí),m=2;②如圖2,點(diǎn)D在AB的延長(zhǎng)線上時(shí),m=4.由相似和旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得出∠A=∠CBE=30°.從而得出m的值;
(3)先求得△ABC的面積,再由△CAD∽△CBE,求得BE,分情況討論:①當(dāng)點(diǎn)D在AB邊上時(shí),AD=x,BD=AB-AD=2-x,得出直線A′C與⊙E相切.②當(dāng)點(diǎn)D在AB的延長(zhǎng)線上時(shí),AD=x,BD=x-2,得出直線A′C與⊙E相交.
點(diǎn)評(píng):本題考查了直線和圓的位置關(guān)系,相似三角形的判定和性質(zhì)以及旋轉(zhuǎn)的性質(zhì),是一道綜合題,難度較大.