Question

【題目】如圖，在△ABC中，AB=AC,∠BAC=90°，直角∠EPF的頂點(diǎn)P是BC的中點(diǎn)，兩邊PE，PF分別交AB，AC于點(diǎn)E，F(xiàn)，當(dāng)∠EPF在△ABC內(nèi)繞頂點(diǎn)P旋轉(zhuǎn)時(shí)（點(diǎn)E不與A，B重合）.現(xiàn)給出以下四個(gè)結(jié)論：（1）AE=CF；（2）△EPF是等腰直角三角形；（3）；（4）EF=AP．上述結(jié)論中始終正確的結(jié)論有（　　）

A. 1個(gè) B. 2個(gè) C. 3個(gè) D. 4個(gè)

Answer 1

【答案】C

【解析】根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)得：AP⊥BC，AP=BC，AP平分∠BAC．所以可證∠C=∠EAP；∠FPC=∠EPA；AP=PC．即證得△APE與△CPF全等．根據(jù)全等三角形性質(zhì)判斷結(jié)論是否正確．

解：∵∠APE、∠CPF都是∠APF的余角，∴∠APE=∠CPF，∵AB=AC，∠BAC=90°，P是BC中點(diǎn)，∴AP=CP，∴∠PAE=∠PCF，在△APE與△CPF中，∠PAE=∠PCF，AP=CP，∠APE=∠CPF，∴△APE≌△CPF（ASA），同理可證△APF≌△BPE，∴AE=CF，△EPF是等腰直角三角形，S四邊形AEPF=S△ABC，①②③正確；而AP=BC，當(dāng)EF不是△ABC的中位線(xiàn)時(shí)，則EF不等于BC的一半，EF=AP，∴故④不成立，

故選C．

“點(diǎn)睛”本題主要考查了等腰直角三角形的判定及性質(zhì)的運(yùn)用，三角形的中位線(xiàn)的性質(zhì)的運(yùn)用，全等三角形的判定及性質(zhì)的運(yùn)用，解答時(shí)證明三角形全等是關(guān)鍵．