Question

【題目】如圖，拋物線y＝ax2＋bx經(jīng)過A（2，0），B（3，－3）兩點，拋物線的頂點為C，動點P在直線OB上方的拋物線上，過點P作直線PM∥y軸，交x軸于M，交OB于N，設點P的橫坐標為m．

（1）求拋物線的解析式及點C的坐標；

（2）當△PON為等腰三角形時，點N的坐標為 ；當△PMO∽△COB時，點P的坐標為 ；（直接寫出結(jié)果）

（3）直線PN能否將四邊形ABOC分為面積比為1：2的兩部分？若能，請求出m的值；若不能，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）拋物線的解析式為y＝－x2＋2x；C（1，1）；（2）N1（1，－1），N2（2，－2），N3（， ）P1（， ），P2（， ）；（3）或

【解析】（1）本題需先根據(jù)拋物線y=ax2+bx（a≠0）經(jīng)過（2，0）B（3，-3）兩點，分別求出a、b的值，再代入拋物線y=ax2+bx即可求出它的解析式；
（2）由△PON為等腰三角形的條件，依次寫出點N、點P的坐標；
（3）作BD⊥x軸于D，作CE⊥x軸于E，交OB于F，由三角形面積求出OE＝EF，然后分幾種情況得到m 的值．

解：（1）根據(jù)題意，得，解這個方程組得

∴拋物線的解析式為y＝－x2＋2x

當x＝時，y＝－x2＋2x＝1，∴C（1，1）

（2）N1（1，－1），N2（2，－2），N3（， ）

P1（， ），P2（， ）

（3）作BD⊥x軸于D，作CE⊥x軸于E，交OB于F

則BD＝OD＝3，CE＝OE＝1，OC＝AC

∴△ODB，△OCE，△AOC均為等腰直角三角形

∴∠AOC＝∠AOB＝∠OAC＝45°

∵PM∥y軸，∴OM⊥PN，∠MNO＝∠AOB＝45°，∴OM＝MN＝m，OE＝EF＝1

①∵

∴當0＜m≤1時，不能滿足條件

②當1＜m≤2時，設PN交AC于Q，則MQ＝MA＝2－m

由，得，解得

，符合題意

由，得，解得

，符合題意

③當2＜m＜3時，作AG⊥x軸，交OB于G，

則AG＝OA＝2，AD＝1

∴

∴當2＜m＜3時，不能滿足條件

∴或

“點睛”此題屬于二次函數(shù)綜合題，涉及了待定系數(shù)法求函數(shù)解析式、一元一次方程的解及三角形的面積，綜合性較強，解答本題的難點在第三問，關鍵是根據(jù)題意進行分類求解，難度較大，一般出是試題的壓軸題．