Question

（1）求證：關于x的一元二次方程x²+（m-3）x-3m=0一定有兩個實數(shù)根；
（2）若關于x的方程x²-2

2k-3

x+3k-6=0有兩個不相等的實數(shù)根，求k的取值范圍；
（3）設題（1）中方程的兩根為a、b，若恰有一個直角三角形的三邊長分別為2、a、b，試求m的值．

Answer 1

分析：（1）證明一個一元二次方程有兩個實數(shù)根需要證明△≥0．
（2）要證明方程有兩個不相等的實數(shù)根，即證明△＞0即可．△=k²-4×1×（-1）=k²+4，因為k²≥0，可以得到△＞0．
（3）根據(jù)（1）中的方程求出x₁和x_{2^{的值，即可得出}}a、b的值，再根據(jù)直角三角形三邊之間的關系得出m的值．

解答：證明：（1）∵x²+（m-3）x-3m=0是關于x的一元二次方程，
∴△=（m-3）2-4×1×（-3m）
=m²+6m+9
=（m+3）²≥0，
∴原方程一定有兩個實數(shù)根．
（2）△=（2

2k-3

）²-4（3k-6）
=4（2k-3）-12k+24
=-4k+12
∵原方程有兩個不相等的實數(shù)根，
∴-4k+12＞0，
∴k＜3；
∵2k-3≥0，
∴k≥

3

2

，
∴k的取值范圍是：

3

2

≤k＜3；
（3）x²+（m-3）x-3m=0
（x+m）（x-3）=0
解得：x₁=-m，x₂=3，
∴a=-m，b=3，
∴2²+（-m）²=3²，
m=±

5

，
∵a=-m＞0，
∴m＜0，
∴m=-

5

，
2²+3²=（-m）²
m=±

13

∵m＜0，
∴m=-

13

；
∴m的值是：m=-

5

或m=-

13

．

點評：本題考查了一元二次方程根的判別式的應用．在與一元二次方程有關的求值問題中，必須滿足下列條件：
（1）二次項系數(shù)不為零；
（2）在有的實數(shù)根的情況下必須滿足△=b²-4ac≥0．