Question

已知拋物線y=-x²-（m-4）x+3（m-1）與x軸交于A、B兩點，與y軸交于C點．
（1）求m的取值范圍；
（2）若m≤0，直線y=kx-1，經(jīng)過點A，與y軸交于點D，且AD×BD=2，求拋物線的解析式；
（3）若點A在點B的左邊，在第一象限內(nèi)，（2）中所得拋物線上是否存在一點P，使直線PA平分△ACD的面積？若存在，求出P點坐標(biāo)，若不存在，請說明理由．

Answer 1

解：（1）∵拋物線與x軸有兩個不同的交點，
∴△=（m-4）²+12（m-1）=m²+4m+4=（m+2）²＞0，
∴m≠-2．

（2）∵y=-x²-（m-4）x+3（m-1）=-（x-3）（x+m-1），
∴拋物線與x軸的兩個交點為：（3，0），（1-m，0）；
易知D（0，-1），則有：
AD×BD=×=2，
∴10×（m²-2m+2）=20，
即m²-2m=0，
解得m=0，m=2（舍去），
∴拋物線的解析式為：y=-x²+4x-3．

（3）若點A在點B左側(cè)，則：A（1，0），B（3，0），C（0，-3）；
假設(shè)存在符合題意的P點，設(shè)直線PA與y軸的交點為E，
若AE平分△DAC的面積，
則有：DE=CE，即E（0，-2）；
∴直線AE的解析式為：y=2x-2；
聯(lián)立拋物線的解析式有
，
解得；
即直線AE與拋物線只有一個交點A，因此不存在符合條件的P點．
分析：（1）由于拋物線與x軸有兩個不同的交點，可令y=0，則所得方程的根的判別式△＞0，可據(jù)此求出m的取值范圍．
（2）根據(jù)已知直線的解析式，可得到D點的坐標(biāo)；根據(jù)拋物線的解析式，可用m表示出A、B的坐標(biāo)，即可得到AD、BD的長，代入AD×BD=2中，即可求得m的值，從而確定拋物線的解析式．
（3）根據(jù)（2）題所得拋物線即可確定A、B、C的坐標(biāo)；假設(shè)存在符合條件的P點，設(shè)直線PA與y軸的交點為E，若PA將△ACD分成面積相等的兩部分，那么DE=CE，由此可求出E點的坐標(biāo)，進(jìn)而可求出直線AE（即PA）的解析式，聯(lián)立拋物線的解析式即可求得P點坐標(biāo)．（若直線與拋物線只有一個交點，就說明不存在符合條件的P點．）
點評：此題考查了根的判別式、二次函數(shù)解析式的確定、勾股定理、函數(shù)圖象的交點坐標(biāo)及圖形面積的求法，難度適中．