Question

如圖，拋物線y=ax²-8ax+12a與x軸交于A、B兩點(diǎn)，拋物線上有一點(diǎn)C，使∠B=∠OCA，
（1）求OC的長及的值；
（2）設(shè)直線BC與y軸交于P點(diǎn)，點(diǎn)C是BP的中點(diǎn)時，求直線BP和拋物線的解析式．

Answer 1

【答案】分析：（1）本題須先令拋物線y=0，可得出A、B的坐標(biāo)，即可確定OA，OB的長．根據(jù)△OCA∽△OBC，可得出關(guān)于OC、OA、OB的比例關(guān)系式，即可求出OC和及的值．
（2）本題需根據(jù)C是BP中點(diǎn)，因此C的橫坐標(biāo)是B點(diǎn)橫坐標(biāo)的一半，在（1）中已經(jīng)求得了OC的長，因此不難得出C點(diǎn)的坐標(biāo)．將C點(diǎn)坐標(biāo)代入拋物線中即可求出拋物線的解析式．再把B、C點(diǎn)的坐標(biāo)代入直線的解析式即可結(jié)果．
解答：解：（1）由ax²-8ax+12a=0（a＜0）
得x₁=2，x₂=6．
即：OA=2，OB=6．
∵△OCA∽△OBC，
∴OC²=OA•OB=2×6．
∴OC=2 或-2 （舍去）．
∴線段OC的長為2 ．
∵△OCA∽△OBC
∴
∴==

（2）設(shè)AC=k，則BC=k
由AC²+BC²=AB²得
k²+（ k）²=（6-2）²
解得k=2（-2舍去）
∴AC=2，BC=2 =OC
過點(diǎn)C作CD⊥AB于點(diǎn)D
∴OD=OB=3
∴CD=
∴C的坐標(biāo)為（3，）
將C點(diǎn)的坐標(biāo)代入拋物線的解析式得 =a（3-2）（3-6）
∴a=-
∴拋物線的函數(shù)關(guān)系式為：
y=-x²+x-4 ．
設(shè)直線BP的解析式為y=kx+b
把B、C點(diǎn)的坐標(biāo)代入得

解得
∴直線BP的解析式為y=-
點(diǎn)評：本題主要考查了二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，解題時要注意數(shù)形結(jié)合，綜合利用二次函數(shù)以及相似三角形的有關(guān)知識求二次函數(shù)的解析式是本題的關(guān)鍵．