Question

已知拋物線y=ax²+bx-4的圖象與x相交于A、B（點(diǎn)A在B的左邊），與y軸相交于C，拋物線過點(diǎn)A（-1，0）且OB=OC．P是線段BC上的一個動點(diǎn)，過P作直線PE⊥x軸于E，交拋物線于F．
（1）求拋物線的解析式；
（2）若△BPE與△BPF的兩面積之比為2：3時，求E點(diǎn)的坐標(biāo)；
（3）設(shè)OE=t，△CPE的面積為S，試求出S與t的函數(shù)關(guān)系式；當(dāng)t為何值時，S有最大值，并求出最大值；
（4）在（3）中，當(dāng)S取得最大值時，在拋物線上求點(diǎn)Q，使得△QEC是以EC為底邊的等腰三角形，求Q的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據(jù)拋物線的解析式，易得C點(diǎn)的坐標(biāo)，而OB=OC，即可得到點(diǎn)B的坐標(biāo)，然后將A、B的坐標(biāo)代入拋物線的解析式中，通過聯(lián)立方程組即可求得該拋物線的解析式．
（2）易求得直線BC的解析式，設(shè)出點(diǎn)E的橫坐標(biāo)，根據(jù)拋物線和直線BC的解析式，即可表示出點(diǎn)P、F的縱坐標(biāo)，從而得到PE、FP的長，由于△PBE、△PBF等高，那么它們的面積比等于底邊的比，然后分：①PE：PF=2：3，②PE：PF=3：2，兩種情況進(jìn)行討論即可．
（3）若OE=t，則E（t，0），同（2）可求得PE的長，以PE為底、OE長為高即可得到△CPE的面積，從而得到關(guān)于△CPE的面積和t的函數(shù)關(guān)系式，根據(jù)所得函數(shù)的性質(zhì)即可求得△CPE的面積最大值及對應(yīng)的t的值．
（4）設(shè)CE的中點(diǎn)為M，若△QEC以EC為底，那么Q必為線段EC的垂直平分線QM與拋物線的交點(diǎn)，由于直線QM與直線CE互相垂直，它們斜率的乘積為-1，結(jié)合點(diǎn)M的坐標(biāo)，即可得到直線QM的長，聯(lián)立拋物線的解析式，可求得Q點(diǎn)的坐標(biāo)．
解答：解：（1）易知：C（0，-4），即OC=4；
故OB=OC=4，B（4，0）；
將A（-1，0），B（4，0）代入拋物線的解析式中，得：
，
解得；
故拋物線的解析式為：y=x²-3x-4．

（2）設(shè)E（x，0）（0＜x＜4），易知直線BC：y=x-4，則P（x，x-4），F(xiàn)（x，x²-3x-4）；
故PE=4-x，PF=（x-4）-（x²-3x-4）=-x²+4x；
①若S_△PBE：S_△PBF=2：3，
則PE：PF=2：3，
即：，
解得，x=4（舍去），
②若S_△PBE：S_△PBF=3：2，則PE：PF=3：2，
即：=，
解得；x=4（舍去）
綜上所述，E點(diǎn)的坐標(biāo)為：E（，0）或（，0）．

（3）若OE=t，則（t，0）；
由（2）知：PE=4-t，則有：
S_△CPE=（0≤t≤4）；
當(dāng)t=2時，S取得最大值，最大值為2．

（4）設(shè)線段CE的中點(diǎn)為M，即M（1，-2）；
若△QCE是以EC為底邊的等腰三角形，那么點(diǎn)Q必為線段CE的垂直平分線與拋物線的交點(diǎn)；
由于E（2，0）、C（0，4），
易知直線EC：y=2x-4；
所以設(shè)：直線QM：y=-x+h，
代入M點(diǎn)坐標(biāo)得：-+h=-2，
即h=-；
故直線QM：y=-x-，聯(lián)立拋物線的解析式可得：
，
解得，；
故Q₁（，），Q₂（，）．
點(diǎn)評：此題主要考查了二次函數(shù)解析式的確定、圖形面積的求法、二次函數(shù)的應(yīng)用、等腰三角形的判定和性質(zhì)、函數(shù)圖象交點(diǎn)坐標(biāo)的求法等重要知識點(diǎn)，難度適中．