Question

某大學畢業(yè)生響應國家“自主創(chuàng)業(yè)”的號召，投資開辦了一個玩具商店．該店對今年新上市玩具熊進行了30天的試銷售，這種玩具熊進價為25元/個．在這段試營銷期間，玩具熊的日銷售量P（個）與銷售時間t（天）之間有如下關系：P=-2t+100（1≤t≤30，且t為整數(shù)）；銷售價格Q（元/個）與銷售時間t（天）之間有如下關系：Q=

1

2

t+40（1≤t≤30，且t為整數(shù)），
（1）寫出該商店試銷售期間的日銷售利潤S （元）和與銷售時間t（天）之間的函數(shù)關系式，并求出試銷售期間的最大日銷售利潤；
（2）試銷售結束后，該大學畢業(yè)生發(fā)現(xiàn)若以試銷售的第30天的銷售價作為正式銷售價，價格顯得偏高而銷售量顯得偏低，于是決定將試銷售的第30天的銷售價適當降低進行正式銷售．經市場調查發(fā)現(xiàn)，每降價1元，每天可多賣出4個．試問：需降價多少元可使正式銷售期間每天的銷售利潤與試銷售期間的最大日銷售利潤相同？

Answer 1

分析：（1）根據(jù)日銷售利潤=日銷售量×單個利潤，由已知得出P=-2t+100，Q=

1

2

t+40（1≤t≤30，且t為整數(shù)），S=PQ，求出即可；
（2）首先求出第30天的銷售價與銷量，進而得出（55-x-25）（40+4x）=1600求出即可．

解答：解：（1）由題意得：
S=(-2t+100)(

1

2

t+40-25)…（1分）
=-t²+20t+1500（1≤t≤30，且t為整數(shù)）…（2分）
當t=-

b

2a

=10（天）時，S取最大值，
且S最大=-102+20×10+1500=1600（元）…（4分）；

（2）令t=30，得 P₃₀=-2×30+100=40（個），
Q30=

1

2

×30+40=55（元/個）…（5分）
設需降價x元，由題意，得：
（55-x-25）（40+4x）=1600…（7分）
解得，x₁=x₂=10…（8分）
答：需降價10元可使正式銷售期間每天的銷售利潤與試銷售期間的最大日銷售利潤相同．

點評：此題主要考查了二次函數(shù)的應用以及一元二次方程的應用，根據(jù)已知日銷售利潤=日銷售量×單個利潤找出等量關系是解題關鍵．