Question

如圖，△ABD，△BCE，△ACF均為等邊三角形，請回答下列問題，其中（2），（3），（4）小題不用說明理由：
（1）四邊形ADEF是什么四邊形？請說明理由．
（2）當△ABC滿足________條件時，四邊形ADEF是菱形？
（3）當△ABC滿足________條件時，四邊形ADEF是矩形？
（4）當△ABC滿足________條件時，以A、D、E、F為頂點的四邊形不存在？

Answer 1

解：（1）∵△ABD，△BCE為等邊三角形
∴∠DBA=∠EBC=60°，BD=AB，BE=BC
∴∠ABC+∠EBA=∠DBE+∠EBA=60°
∴∠ABC=∠DBE
∴△ABC≌△DBE
∴DE=AC 同理：EF=AB
∵AB=AD，AC=AF
∴EF=AD，DE=AF
∴四邊形ADEF是平行四邊形

（2）∵四邊形ADEF是菱形，
∴AD=AF．
∵△ABD，△ACF均為等邊三角形，
∴AB=AD，AC=AF．
∴AB=AC時，四邊形ADEF是矩形．

（3）∵四邊形ADEF是矩形，
∴∠FAD=90°．
∴∠BAC=360°-∠DAF-∠DAB-∠FAC=360°-90°-60°-60°=150°．
∴∠BAC=150°時，四邊形ADEF是矩形．

（4）當∠BAC=60°時，以A，D，E，F(xiàn)為頂點的四邊形不存在．
故答案為：（2）AB=AC （3）∠BAC=150° （4）∠BAC=60°
分析：（1）四邊形ADEF平行四邊形．根據(jù)△ABD，△EBC都是等邊三DAE角形容易得到全等條件證明△DBE≌△ABC，然后利用全等三角形的性質和平行四邊形的判定可以證明四邊形ADEF平行四邊形．
（2）若邊形ADEF是矩形，則∠DAE=90°，然后根據(jù)已知可以得到∠BAC=150°．
（3）當∠BAC=60°時，∠DAF=180°，此時D、A、F三點在同一條直線上，以A，D，E，F(xiàn)為頂點的四邊形就不存在．
點評：此題主要用等邊三角形的性質，全等三角形的性質與判定來解決平行四邊形的判定問題，也探討了矩形，平行四邊形之間的關系．