Question

（2013•襄城區(qū)模擬）如圖，反比例函數(shù)y=

k

x

（k＞0）與長(zhǎng)方形OABC在第一象限相交于D、E兩點(diǎn)，OA=2，OC=4，連接OD、OE、DE．記△OAD、△OCE的面積分別為S₁、S₂．
（1）①點(diǎn)B坐標(biāo)為

（4，2）

；②S₁

=

S₂（填“＞”、“＜”、“=”）；
（2）當(dāng)點(diǎn)D為線段AB的中點(diǎn)時(shí)，求k的值及點(diǎn)E坐標(biāo)；
（3）當(dāng)S₁+S₂=2時(shí)，試判斷△ODE的形狀，并求△ODE的面積．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)OA=2，OC=4可直接得到點(diǎn)B坐標(biāo)；②根據(jù)反比例函k的意義可知S₁、S₂都等于

1

2

|k|，即可得到答案；
（2）當(dāng)點(diǎn)D為AB中點(diǎn)時(shí)，AD=2，得出D的坐標(biāo)是（2，2），求出解析式即可；
（3）根據(jù)當(dāng)S₁+S₂=2時(shí)，由（1）得出S₁=S₂=1，進(jìn)而得出BD，BE的長(zhǎng)，進(jìn)而得出DO²+DE²=OE²，△ODE是直角三角形，進(jìn)而得出三角形面積．

解答：解：（1）①根據(jù)長(zhǎng)方形OABC中，OA=2，OC=4，
則點(diǎn)B坐標(biāo)為（4，2），
②∵反比例函數(shù)y=

k

x

（k＞0）與長(zhǎng)方形OABC在第一象限相交于D、E兩點(diǎn)，
利用△OAD、△OCE的面積分別為S₁=

1

2

AD•AO，S₂=

1

2

•CO•EC，xy=k，得出，
S₁=

1

2

AD•AO=

1

2

k，S₂=

1

2

•CO•EC=

1

2

k，
∴S₁=S₂；

（2）當(dāng)點(diǎn)D為AB中點(diǎn)時(shí)，AD=2，
∴D的坐標(biāo)是（2，2），
把D（2，2）代入y=

k

x

得：
k=2×2=4，
∴y=

4

x

．
∵點(diǎn)B坐標(biāo)為（4，2），
∴E點(diǎn)橫坐標(biāo)為：4，
∴4×y=4，
∴y=1，
∴E點(diǎn)坐標(biāo)為：（4，1）；

（3）當(dāng)S₁+S₂=2時(shí)，∵S₁=S₂，
∴S₁=S₂=1，
∵S₁=

1

2

AD•AO=

1

2

AD×2=1，
∴AD=1，
∵S₂=

1

2

•CO•EC=

1

2

×4×EC=1，
∴EC=

1

2

，
∵OA=2，OC=4，
∴BD=4-1=3，
BE=2-

1

2

=

3

2

，
∴DO²=AO²+AD²=4+1=5，
DE²=DB²+BE²=9+

9

4

=

45

4

，
OE²=CO²+CE²=16+

1

4

=

65

4

，
∴DO²+DE²=OE²，
∴△ODE是直角三角形，
∵DO²=5，
∴DO=

5

，
∵DE²=

45

4

，
∴DE=

3 5

2

，
∴△ODE的面積為：

1

2

×DO×DE=

1

2

×

5

×

3 5

2

=

15

4

．

點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了反比函數(shù)的綜合應(yīng)用以及勾股定理的應(yīng)用以及三角形面積求法，利用數(shù)形結(jié)合在一起，得出BD，EB長(zhǎng)是分析解決問(wèn)題的關(guān)鍵．