如圖，已知Rt△ABC中，∠A＝30°，AC＝6．邊長為4的等邊△DEF沿射線AC運動(A、D、E、C四點共線)，使邊DF、EF與邊AB分別相交于點M、N(0＜AD＜4)．

(1)求證：AD＝DM；

(2)設(shè)AD＝x，△ABC與△DEF重疊部分的面積為y，求y關(guān)于x的函數(shù)解析式；

(3)是否存在一個以M為圓心，MN為半徑的圓與邊AC、EF同時相切，如果存在，請求出圓的半徑；如果不存在，請說明理由．

答案：
解析：

　　(1)證明：∵△DEF是等邊三角形，

　　∴∠FDE＝60°．

　　∴∠AMD＝∠FDE－∠A＝30°．

　　∴∠AMD＝∠A．

　　∴DM＝DA　　3分

　　(2)∵DM＝AD，

　　∴∠A＝∠AMD＝∠FMN

　　∵∠FED＝60°，∠A＝30°，

　　∴∠FNM＝90°．

　　∴MN＝MF·SinF＝，F(xiàn)N＝MF＝(4－x)．

　　　　5分

　　當(dāng)時，

　　　　7分

　　當(dāng)時，

　　CE＝AE―AC＝4＋x－6＝x－2．

　　∵∠BCE＝90°，∠PEA＝60°，

　　∴PC＝．

　　∴．

　　∴＝S△DEF―S△FMN―S△PCE＝　　9分

　　(3)過點M作MG⊥AC于點G，由(2)得DM＝x　∵∠MDG＝60°，

　　∴MG＝　∴∠MNF＝90°　∴MN⊥FC

　　要使以點M為圓心，MN長為半徑的圓與邊AC、EF相切，

　　則有MG＝MN　　11分

　　即：解得x＝2　　12分

　　圓的半徑MN＝　　13分

　　(注：如果學(xué)生有不同的解題方法，只要正確，可參考評分標(biāo)準(zhǔn)，酌情給分．)


練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：初中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

22、如圖，已知Rt△ABC，AB=AC，∠ABC的平分線BD交AC于點D，BD的垂直平分線分別交AB，BC于點E、F，CD=CG．
（1）請以圖中的點為頂點（不增加其他的點）分別構(gòu)造兩個菱形和兩個等腰梯形．那么，構(gòu)成菱形的四個頂點是
B，E，D，F(xiàn)
或
E，D，C，G
；構(gòu)成等腰梯形的四個頂點是
B，E，D，C
或
E，D，G，F(xiàn)
；
（2）請你各選擇其中一個圖形加以證明．

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科目：初中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖，已知Rt△ABC是⊙O的內(nèi)接三角形，∠BAC=90°，AH⊥BC，垂足為D，過點B作弦BF交AD于點精英家教網(wǎng)E，交⊙O于點F，且AE=BE．
（1）求證：
AB
=
AF
；
（2）若BE•EF=32，AD=6，求BD的長．

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科目：初中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

5、如圖，已知Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，P是BC延長線上一點，PE⊥AB交BA延長線于E，PF⊥AC交AC延長線于F，D為BC中點，連接DE，DF．求證：DE=DF．

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科目：初中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖，已知Rt△ABC中，∠CAB=30°，BC=5．過點A做AE⊥AB，且AE=15，連接BE交AC于點P．
（1）求PA的長；
（2）以點A為圓心，AP為半徑作⊙A，試判斷BE與⊙A是否相切，并說明理由．

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科目：初中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖，已知Rt△ABC中∠A=90°，AB=3，AC=4．將其沿邊AB向右平移2個單位得到△FGE，則四邊形ACEG的面積為
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．

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