Question

如圖，在直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A，B，C的坐標(biāo)分別為（-1，0），（3，0），（0，3），D（1，a）在直線BC上，⊙A是以A為圓心，AD為半徑的圓．
（1）求a的值；
（2）求證：⊙A與BC相切；
（3）在x負(fù)半軸上是否存在點(diǎn)M，使MC與⊙A相切，若存在，求點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，說明理由；
（4）線段AD與y軸交于點(diǎn)E，過點(diǎn)E的任意一直線交⊙A于P、Q兩點(diǎn)，問是否存在一個常數(shù)K，始終滿足PE•QE=K，如果存在，請求出K的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）由已知求直線BC的解析式，將D點(diǎn)橫坐標(biāo)代入直線BC解析式求a的值；
（2）分別求AD，BD的長，證明AD²+BD²=AB²，利用勾股定理的逆定理判斷∠ADB=90°即可；
（3）存在．設(shè)M（m，0），連接MC，當(dāng)MC與⊙M相切時，利用計(jì)算△OCM的面積的方法，列方程求m的值；
（4）存在．延長DA交⊙A于G點(diǎn)，利用相交弦定理求常數(shù)K．

解答：解：（1）∵B（3，0），C（0，3），
∴直線BC的解析式為y=-x+3，
將D（1，a）代入，得a=-1+3=2；

（2）∵AD²=（1+1）²+2²=8，BD²=（3-1）²+2²=8，AB²=（1+3）²=16，
∴AD²+BD²=AB²，
∴∠ADB=90°，即：⊙A與BC相切；

（3）存在．
設(shè)M（m，0），連接MC，過A點(diǎn)作AN⊥CM，垂足為N，
則MC=

m2+9

，由AN×CM=AM×CO，得AN=

3(-1-m)

m2+9

，
當(dāng)MC與⊙M相切時，AN=AD=2

2

，即

3(-1-m)

m2+9

=2

2

，
解得m=-21或3（舍去正值），即M（-21，0）；

（4）存在．
延長DA交⊙A于G點(diǎn)，由A、D兩點(diǎn)坐標(biāo)可知，直線AD：y=x+1，
∴E（0，1），
AE=ED=

2

，AG=2

2

，
由相交弦定理，得PE•QE=ED•EG=

2

×3

2

=6，即K=6．

點(diǎn)評：本題考查了一次函數(shù)的綜合運(yùn)用．關(guān)鍵是根據(jù)已知點(diǎn)求直線解析式，運(yùn)用點(diǎn)的坐標(biāo)判斷直線與圓相切，運(yùn)用切線的性質(zhì)求m的值，運(yùn)用相交弦定理求常數(shù)K．