Question

【題目】如圖，兩個(gè)等腰直角△ABC和△CDE中，∠ACB=∠DCE=90°．

（1）觀察猜想如圖1，點(diǎn)E在BC上，線段AE與BD的數(shù)量關(guān)系，位置關(guān)系．

（2）探究證明把△CDE繞直角頂點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到圖2的位置，（1）中的結(jié)論還成立嗎？說明理由；

（3）拓展延伸：把△CDE繞點(diǎn)C在平面內(nèi)自由旋轉(zhuǎn)，若AC=BC=13，DE=10，當(dāng)A、E、D三點(diǎn)在直線上時(shí)，請直接寫出AD的長．

Answer 1

【答案】（1）AE=BD，AE⊥BD；（2）結(jié)論：AE=BD，AE⊥BD．理由見解析；（3）滿足條件的AD的值為17或7．

【解析】

（1）如圖1中，延長AE交BD于H．只要證明△ACE≌△BCD即可；

（2）結(jié)論不變．如圖2中，延長AE交BD于H，交BC于O．只要證明△ACE≌△BCD即可；

（3）分兩種情形分別求解即可解決問題；

（1）如圖1中，延長AE交BD于H．

∵AC=CB，∠ACE=∠BCD，CE=CD，

∴△ACE≌△BCD，

∴AE=BD，∠EAC=∠CBD，

∵∠EAC+∠AEC=90°，∠AEC=∠BEH，

∴∠BEH+∠EBH=90°，

∴∠EHB=90°，即AE⊥BD，

（2）結(jié)論：AE=BD，AE⊥BD．

理由：如圖2中，延長AE交BD于H，交BC于O．

∵∠ACB=∠ECD=90°，

∴∠ACE=∠BCD，

∵AC=CB，∠ACE=∠BCD，CE=CD，

∴△ACE≌△BCD，

∴AE=BD，∠EAC=∠CBD，

∵∠EAC+∠AOC=90°，∠AOC=∠BOH，

∴∠BOH+∠OBH=90°，

∴∠OHB=90°，即AE⊥BD．

（3）①當(dāng)射線AD在直線AC的上方時(shí)，作CH⊥AD用H．

∵CE=CD，∠ECD=90°，CH⊥DE，

∴EH=DH，CH=DE=5，

在Rt△ACH中，∵AC=13，CH=5，

∴

∴AD=AH+DH=12+5=17．

②當(dāng)射線AD在直線AC的下方時(shí)時(shí)，作CH⊥AD用H．

同法可得：AH=12，故AD=AH﹣DH=12﹣5=7，

綜上所述，滿足條件的AD的值為17或7．