【題目】如圖1,已知ABCEFC都是等邊三角形,且點E在線段AB上.

1)求證:BFAC;

2)過點EEGBCAC于點G,試判斷AEG的形狀并說明理由;

3)如圖2,若點D在射線CA上,且EDEC,求證:ABADBF

【答案】1)見解析;(2AEG是等邊三角形;理由見解析;(3)見解析.

【解析】

1)如圖1,根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得到∠ACB=ECF=60°,AC=BC,CE=FC,推出△ACE≌△FCB,得到∠CBF=A=60°,于是得到∠CBF =ACB,根據(jù)平行線的判定定理即可得到ACBF;
2)過EEGBCACG,根據(jù)等邊三角形的判定定理可證明△AEG是等邊三角形;

3)由(2)可知∠DAE=EGC=120°,可證明△ADE≌△GCE,進而得到AD=CG,再由(1BF=AE=AG,于是可證得AB=BF+AD.

解:(1)如圖1,

∵△ABC和△EFC都是等邊三角形,
∴∠ACB=ECF=A= 60°,AC=BC,CE=FC,
∴∠1+3=2+3,
∴∠1=2,
在△ACE與△FCB中,

,

∴△ACE≌△FCB,
∴∠CBF=A =60°,
∴∠CBF =ACB,

ACBF;
2)△AEG是等邊三角形,理由如下:

如圖,過EEGBCACG

∵∠ABC=ACB=60°,
∴∠AEG=AGE=60°,
∴△AEG是等邊三角形.
3)如圖2,過EEGBCACG,

由(2)可知△AEG是等邊三角形,

AE=EG=AG,∠GAE=AGC=60°
∴∠DAE=EGC=120°,
DE=CE,

∴∠D=1,
∴△ADE≌△GCE,
AD=CG,
AC=AG+CG=AG+AD

由(1)得△ACE≌△FCB,
BF=AE,
BF=AG,
AC=BF+AD,
AB=BF+AD.

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