Question

扇形OAB的半徑OA=1，圓心角∠AOB=90°，點(diǎn)C是弧AB上的動(dòng)點(diǎn)，連結(jié)AC和BC，記弦AC、CB與弧AC、CB圍成的陰影部分的面積為S，則S的最小值為（　�。�

• A．

  π

  4

  -

  1

  2

• B．

  π

  4

  -

  2

  2

• C．

  π

  4

  -

  3

  4

  -

  1

  4

• D．

  π

  8

  -

  1

  4

Answer 1

分析：要使陰影部分的面積最小，就需要滿足四邊形AOBC的面積最大，連接AB，只需滿足△ABC的面積最大即可，從而確定點(diǎn)C的位置，點(diǎn)C位于弧AB的中點(diǎn)，從而求出四邊形AOBC的面積，由S_陰影=S_扇形OAB-S_{四邊形AOBC}，即可得出答案．

解答：解：連接AB，

要使陰影部分的面積最小，就需要滿足四邊形AOBC的面積最大，只需滿足△ABC的面積最大即可，
從而可得當(dāng)點(diǎn)C位于弧AB的中點(diǎn)時(shí)，△ABC的面積最大，
連接OC'，則OC'⊥AB，
OD=

1

2

AB=

2

2

，DC'=OC'-OD=1-

2

2

，
S_{四邊形AOBC}'=S_△AOB+S_△ABC'=

1

2

+

1

2

×

2

×（1-

2

2

）=

2

2

，
故可得S_陰影=S_扇形OAB-S_{四邊形AOBC}=

π

4

-

2

2

．
故選B．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了扇形的面積計(jì)算及動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題，解答本題的關(guān)鍵是判斷出點(diǎn)C的位置，有一定難度．