Question

【題目】如圖1，在平面直角坐標系中，拋物線y＝﹣x2﹣x﹣3交x軸于A，B兩點（點A在點B的左側），交y軸于點C

（1）求直線AC的解析式；

（2）點P是直線AC上方拋物線上的一動點（不與點A，點C重合），過點P作PD⊥x軸交AC于點D，求PD的最大值；

（3）將△BOC沿直線BC平移，點B平移后的對應點為點B′，點O平移后的對應點為點O′，點C平移后的對應點為點C′，點S是坐標平面內一點，若以A，C，O′，S為頂點的四邊形是菱形，求出所有符合條件的點S的坐標．

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）（，）或（，）或（）或（）或（）

【解析】

（1），令y=0，則x=-1或-6，故點A、B、C的坐標分別為：（-6，0）、（-1，0）、（0，-3），然后用待定系數法即可求解；（2）設點P（x，），則點D（x，），則PD=-（）=，然后配方法分析其最值，即可求解；（3）分AC是菱形的邊、AC是對角線兩種情況，分別求解即可．

解：（1）當y=0時，

解得：x=-1或-6，

當x=0時，y=-3

∴點A、B、C的坐標分別為：（-6，0）、（-1，0）、（0，-3），

設直線AC的表達式為：

將點A、C的坐標代入得：

解得：

∴直線AC的解析式為：

（2）設點P（x，），則點D（x，）

則PD=-（）=

∵＜0，故PD有最大值為

（3）設直線BC的表達式為：

將點B、C的坐標代入得：

解得：

∴直線BC的解析式為：

①如圖3或4中，當四邊形ACSO'是菱形時，設AS交CO′于K，AC=AO′=3，

點O平移后的對應點為點O′，平移直線的k為，

則設點O向左平移m個單位，則向上平移3m個單位，則點O′（-m，3m），設點S（a，b），

∴（m+6）2+（-3m）2=（3）2，
解得m=，

∴O′（，）或（，）

由中點公式可得：K（，）或（，），

∵AK=KS，

∴S（，）或（，）

②如圖5或6中，當四邊形ACO'S是菱形時，設CS交AO′于K，AC=CO′=3，

∵點O平移后的對應點為點O′，平移直線的k為，C（0，-3），設O′（m，-3m），

∴m2+（-3m+3）2=（3）2，

解得m=，

∴O′（）或（），

由中點公式可得：K（）或（），

∵CK=KS，

∴S（）或（）

③如圖7中，當四邊形ASCO′是菱形時，SO垂直平分線段AC，

直線SO′的解析式為

由 ，

解得 ，

∴O′（）

∵KS=KO′，

∴S（）

綜上所述，滿足條件的點S坐標為（，）或（，）或（）或（）或（）