Question

（2013•玄武區(qū)二模）在梯形ABCD中，AD∥BC，∠D=90°，以AB為直徑作⊙O．
（1）如圖①，⊙O與DC相切于點E，試說明：∠BAE=∠DAE；
（2）如圖②，⊙O與DC交于點E、F．
①哪一個角與∠BAE相等？為什么？
②試探究線段DF與CE的數(shù)量關(guān)系．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)切線的性質(zhì)得出AD∥OE，利用等角對等邊以及平行線的性質(zhì)得出∠BAE=∠DAE；
（2）①利用圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)以及圓周角定理得出∠ABE+∠BAE=90°，∠DAF+∠AFD=90°，由∠ABE=∠AFD，得出∠DAF=∠BAE；
②首先得出四邊形ANCD是矩形，進而得出△DAF≌△CNE，即可得出答案．

解答：（1）證明：連接OE，
∵⊙O與DC相切于點E，
∴OE⊥CD，
∵∠D=90°，
∴AD∥OE，
∴∠DAE=∠AEO，
∵OA=OE，
∴∠OAE=∠OEA，
∴∠BAE=∠DAE；

（2）解：①∠DAF與∠BAE相等，理由如下：
連接BE，
∵AB為直徑作⊙O，
∴∠BEA=90°，
∴∠ABE+∠BAE=90°，
∵四邊形ABEF是⊙O的圓內(nèi)接四邊形，
∴∠ABE=∠AFD，
又∵∠DAF+∠AFD=90°，
∴∠DAF=∠BAE，
②DF=CE，理由如下：
連接AN，NE，
∵AB為直徑作⊙O，
∴∠BNA=90°，
∵AD∥BC，∠D=90°，
∴∠D=∠ANC=∠C=90°，
∴四邊形ANCD是矩形，
∴AD=NC，
∴∠ENC=∠BAE，
∵∠DAF=∠BAE，
∴∠DAF=∠ENC，
在△DAF和△CNE中，

∠D=∠C DA=NC ∠DAF=∠CNE

，
∴△DAF≌△CNE（ASA），
∴DF=EC．

點評：此題主要考查了圓的綜合應(yīng)用以及圓周角定理和全等三角形的判定以及矩形的性質(zhì)和判定等知識，熟練利用圓周角定理得出∠BAE=∠DAE是解題關(guān)鍵．