Question

如圖，已知Rt△ABC，D₁是斜邊AB的中點，過D₁作D₁E₁⊥AC于E₁，連接BE₁交CD₁于D₂；過D₂作D₂E₂⊥AC于E₂，連接BE₂交CD₁于D₃；過D₃作D₃E₃⊥AC于E₃，…，如此繼續(xù)，可以依次得到點D₄，D₅，…，D_n，分別記△BD₁E₁，△BD₂E₂，△BD₃E₃，…，△BD_nE_n的面積為S₁，S₂，S₃，…S_n．則（　　）

• A、S_n=

  1

  4n

  S_△ABC
• B、S_n=

  1

  n+3

  S_△ABC
• C、S_n=

  1

  2(n+1)

  S_△ABC
• D、S_n=

  1

  (n+1)2

  S_△ABC

Answer 1

分析：首先證明

AC

CEn

構(gòu)成等差數(shù)列，而

AC

CE1

=2，故

AC

CEn

=2+1•（n-1）=n+1，則可以得到△ABC與△BDnEn面積之間的關(guān)系，從而求解．

解答：解：∵S_△BDnEn=

1

2

S_△CDnEn•CEn，
∴DnEn=D₁E₁•CEn•

D1E1

CE1

，而D₁E₁=

1

2

BC，CE1=

1

2

AC，
∴S_△BDnEn=

1

2

•

1

2

BC•

CEn

1 2 AC

•CEn=

1

2

BC•CEn

AC

•CEn=

1

2

BC•AC[

CEn

AC

]²
=S_△ABC•[

CEn

AC

]²，
延長CD₁至F使得D₁F=CD₁，
∴四邊形ACBF為矩形．
∴

CEn

AC

=

DnEn

AF

=

CEn-1 CEn-1 +BF

AF

=

CEn-1

CEn-1+AC

，
對于

CEn

AC

=

CEn-1

CEn-1+AC

，
兩邊均取倒數(shù)，
∴

AC

CEn

=1+

AC

CEn

，
即是

AC

CEn

-

AC

CEn-1

=1，
∴

AC

CEn

構(gòu)成等差數(shù)列．
而

AC

CE1

=2，
故

AC

CEn

=2+1•（n-1）=n+1，
∴S_△BDnEn=S_△ABC•[

CEn

AC

]²，
則S_n=

1

(n+1)2

S_△ABC．
故選D．

點評：本題主要考查了三角形面積的計算，正確證明

AC

CEn

構(gòu)成等差數(shù)列是解題關(guān)鍵．