Question

（2009•中山）正方形ABCD邊長(zhǎng)為4，M、N分別是BC、CD上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)M點(diǎn)在BC上運(yùn)動(dòng)時(shí)，保持AM和MN垂直．
（1）證明：Rt△ABM∽R(shí)t△MCN；
（2）設(shè)BM=x，梯形ABCN的面積為y，求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式；當(dāng)M點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到什么位置時(shí)，四邊形ABCN的面積最大，并求出最大面積；
（3）當(dāng)M點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到什么位置時(shí)Rt△ABM∽R(shí)t△AMN，求此時(shí)x的值．

Answer 1

【答案】分析：（1）要證三角形ABM和MCN相似，就需找出兩組對(duì)應(yīng)相等的角，已知了這兩個(gè)三角形中一組對(duì)應(yīng)角為直角，而∠BAM和∠NMC都是∠AMB的余角，因此這兩個(gè)角也相等，據(jù)此可得出兩三角形相似．
（2）根據(jù)（1）的相似三角形，可得出AB，BM，MC，NC的比例關(guān)系式，已知了AB=4，BM=x，可用BC和BM的長(zhǎng)表示出CM，然后根據(jù)比例關(guān)系式求出CN的表達(dá)式．這樣直角梯形的上下底和高都已得出，可根據(jù)梯形的面積公式得出關(guān)于y，x的函數(shù)關(guān)系式．然后可根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)得出y的最大值即四邊形ABCN的面積的最大值，以及此時(shí)對(duì)應(yīng)的x的值，也就可得出BM的長(zhǎng)．
（3）已知了這兩個(gè)三角形中相等的對(duì)應(yīng)角是∠ABM和∠AMN，如果要想使Rt△ABM∽R(shí)t△AMN，那么兩組直角邊就應(yīng)該對(duì)應(yīng)成比例，即，根據(jù)（1）的相似三角形可得出，因此BM=MC，M是BC的中點(diǎn)．即x=2．
解答：（1）證明：在正方形ABCD中，AB=BC=CD=4，∠B=∠C=90°，
∵AM⊥MN，
∴∠AMN=90°，
∴∠CMN+∠AMB=90°．
在Rt△ABM中，∠MAB+∠AMB=90°，
∴∠CMN=∠MAB，
∴Rt△ABM∽R(shí)t△MCN．

（2）解：∵Rt△ABM∽R(shí)t△MCN，
∴，即，
∴，
∴y=S_梯形ABCN=（+4）•4
=-x²+2x+8
=-（x-2）²+10，
當(dāng)x=2時(shí)，y取最大值，最大值為10．

（3）解：∵∠B=∠AMN=90°，
∴要使△ABM∽△AMN，必須有，
由（1）知，
∴=，
∴BM=MC，
∴當(dāng)點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)到BC的中點(diǎn)時(shí)，△ABM∽△AMN，此時(shí)x=2．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了相似三角形的判定和性質(zhì)以及二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，根據(jù)相似三角形得出與所求的條件相關(guān)的線段成比例是解題的關(guān)鍵．