Question

（2013•山西模擬）如圖①，一個無蓋的正方體盒子的棱長為10厘米，頂點C₁處有一只昆蟲甲，在盒子的內部頂點A處有一只昆蟲乙．（盒壁的厚度忽略不計）
（1）假設昆蟲甲在頂點C₁處靜止不動，在圖①畫出一條路徑，使昆蟲乙從頂點A沿這條路徑爬行，可以在最短的時間內捕捉到昆蟲甲．（請簡要說明畫法）
（2）如圖②，假設昆蟲甲靜止不動，昆蟲乙從頂點A以2厘米/秒的速度在盒壁上爬行，那么昆蟲乙至少需要多長時間才能捕捉到昆蟲甲？
（3）如圖②，假設昆蟲甲從頂點C₁，以1厘米/秒的速度在盒子的內部沿棱C₁C向下爬行，同時昆蟲乙從頂點A以2厘米/秒的速度在盒壁上爬行，那么昆蟲乙至少需要多長時間才能捕捉到昆蟲甲？（精確到1s）．參考數(shù)據(jù)：

19

≈4.4，

21

≈4.6．

Answer 1

分析：（1）當相鄰兩個面放在同一平面內時，過AC₁的線段必過公共棱的中點，按此方法，可畫出A，C₁所在的相鄰面的所有公共棱的中點；
（2）根據(jù)昆蟲甲靜止不動，昆蟲乙從頂點A以2厘米/秒的速度在盒壁上爬行，得出AC₁=

202+102

=10

5

cm，即可求出所行時間；
（3）聯(lián)系（1）中的4個結論，分別畫出圖形，利用勾股定理求得兩點間的最短路線，進而求解．

解答：解：（1）畫出圖①中A?E₂?C₁，A?E₃?C₁，A?E₄?C₁中任意一條路徑；（E₁、E₂、E₃分別為各棱中點）
（2）如圖2，根據(jù)昆蟲甲靜止不動，昆蟲乙從頂點A以2厘米/秒的速度在盒壁上爬行，
AC₁=

202+102

=10

5

cm，
故昆蟲乙至少需要爬行：10

5

÷2=5

5

秒，
答：昆蟲乙至少需要5

5

時間才能捕捉到昆蟲甲；

（3）由（1）可知，當昆蟲甲從頂點C₁沿棱C₁C向頂點C爬行的同時，昆蟲乙可以沿下列四種路徑中的任意一種爬行：

可以看出，圖②-1與圖②-2中的路徑相等，圖②-3與圖②-4中的路徑相等．
①設昆蟲甲從頂點C₁沿棱C₁C向頂點C爬行的同時，昆蟲乙從頂點A按路徑A→E→F爬行捕捉到昆蟲甲需x秒鐘，
如圖②-1-1，在Rt△ACF中，
（2x）²=（10-x）²+20²，
解得x=10秒；
設昆蟲甲從頂點C₁沿棱C₁C向頂點C爬行的同時，昆蟲乙從頂點A按路徑A→E₂→F爬行捕捉到昆蟲甲需y秒鐘，
如圖②-1-2，在Rt△ABF中，
（2y）²=（20-y）²+10²，
解得y≈8秒；
所以昆蟲乙從頂點A爬行捕捉到昆蟲甲至少需8秒鐘．．

點評：此題主要考查了平面展開圖的最短路徑問題，立體圖形中的最短距離，通常要轉換為平面圖形的兩點間的線段長來進行解決．