(2009•雞西)如圖,?ABCD在平面直角坐標系中,AD=6,若OA、OB的長是關(guān)于x的一元二次方程x2-7x+12=0的兩個根,且OA>OB.
(1)求sin∠ABC的值;
(2)若E為x軸上的點,且S△AOE=,求經(jīng)過D、E兩點的直線的解析式,并判斷△AOE與△DAO是否相似?
(3)若點M在平面直角坐標系內(nèi),則在直線AB上是否存在點F,使以A、C、F、M為頂點的四邊形為菱形?若存在,請直接寫出F點的坐標;若不存在,請說明理由.

【答案】分析:(1)求得一元二次方程的兩個根后,判斷出OA、OB長度,根據(jù)勾股定理求得AB長,那么就能求得sin∠ABC的值.
(2)易得到點D的坐標為(6,4),還需求得點E的坐標,OA之間的距離是一定的,那么點E的坐標可能在點O的左邊,也有可能在點O的右邊.根據(jù)所給的面積可求得點E的坐標,把A、E代入一次函數(shù)解析式即可.然后看所求的兩個三角形的對應(yīng)邊是否成比例,成比例就是相似三角形.
(3)根據(jù)菱形的性質(zhì),分AC與AF是鄰邊并且點F在射線AB上與射線BA上兩種情況,以及AC與AF分別是對角線的情況分別進行求解計算.
解答:解:(1)解x2-7x+12=0,得x1=4,x2=3.
∵OA>OB
∴OA=4,OB=3.
在Rt△AOB中,由勾股定理有AB==5,
∴sin∠ABC=

(2)∵點E在x軸上,S△AOE=,即AO×OE=,
解得OE=.∴E(,0)或E(-,0).
由已知可知D(6,4),設(shè)yDE=kx+b,
當E(,0)時有
解得
∴yDE=x-
同理E(-,0)時,yDE=
在△AOE中,∠AOE=90°,OA=4,OE=;
在△AOD中,∠OAD=90°,OA=4,OD=6;
,
∴△AOE∽△DAO.

(3)根據(jù)計算的數(shù)據(jù),OB=OC=3,
∴AO平分∠BAC,
①AC、AF是鄰邊,點F在射線AB上時,AF=AC=5,
所以點F與B重合,
即F(-3,0),
②AC、AF是鄰邊,點F在射線BA上時,M應(yīng)在直線AD上,且FC垂直平分AM,
點F(3,8).
③AC是對角線時,做AC垂直平分線L,AC解析式為y=-x+4,直線L過(,2),且k值為(平面內(nèi)互相垂直的兩條直線k值乘積為-1),
L解析式為y=x+,聯(lián)立直線L與直線AB求交點,
∴F(-,-),
④AF是對角線時,過C做AB垂線,垂足為N,根據(jù)等積法求出CN=,勾股定理得出,AN=,做A關(guān)于N的對稱點即為F,AF=,過F做y軸垂線,垂足為G,F(xiàn)G=×=,
∴F(-,).
綜上所述,滿足條件的點有四個:F1(3,8);F2(-3,0);
F3(-,-);F4(-).
點評:一個角的正弦值等于這個角的對邊與斜邊之比;相似三角形對應(yīng)邊成比例;給定兩個點作為菱形的頂點,那么這兩個點可能是菱形的對角所在的頂點,也可能是鄰角所在的頂點.
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