Question

如圖，已知△ABC中，AB=AC=12cm，BC=10cm，點(diǎn)D為AB的中點(diǎn)。如果點(diǎn)P在線段BC上以2cm／s的速度由點(diǎn)B向C點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，同時(shí)，點(diǎn)Q在線段AC 上由點(diǎn)A向C點(diǎn)以4cm／s的速度運(yùn)動(dòng)。

(1)、若點(diǎn)P、Q兩點(diǎn)分別從B、A 兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，經(jīng)過(guò)2秒后，△BPD與△CQP是否全等，請(qǐng)說(shuō)明理由。

（2）、若點(diǎn)P、Q兩點(diǎn)分別從B、A 兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，△CPQ的周長(zhǎng)為18cm，問：經(jīng)過(guò)幾秒后，△CPQ是等腰三角形？

                                               

Answer 1

 解：（1），△BPD與△CQP是全等。理由如下： 

當(dāng)P，Q兩點(diǎn)分別從B，A兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)運(yùn)動(dòng)2秒時(shí)

有BP=2×2=4cm，AQ=4×2=8cm      

則CP=BC-BP=10-4=6cm

  CQ=AC-AQ=12-8=4cm         

∵D是AB的中點(diǎn)

∴BD=1/2AB=1/2×12=6cm

∴BP=CQ， BD=CP            

          又∵△ABC中，AB=AC

            ∴∠B=∠C                   

            在△BPD和△CQP中

              BP=CQ

              ∠B=∠C

              BD=CP

∴△BPD≌△CQP(SAS)        

   (2)設(shè)當(dāng)P，Q兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)運(yùn)動(dòng)t秒時(shí)，

      有BP=2t，AQ=4t  ∴t的取值范圍為0﹤t≤3

      則CP=10-2t，CQ=12-4t           

      ∵△CPQ的周長(zhǎng)為18cm，

      ∴PQ=18-(10-2t)-( 12-4t)=6t-4  

      要使△CPQ是等腰三角形，則可分為三種情況討論：

①     當(dāng)CP=CQ時(shí)，則有10-2t=12-4t

                  解得：t=1    

②     當(dāng)PQ=PC時(shí)，則有6t-4=10-2t

                  解得：t=   

③     當(dāng)QP=QC時(shí)，則有6t-4=12-4t

                  解得：t=  

三種情況均符合t的取值范圍。

    綜上所述，經(jīng)過(guò)1秒或秒或秒時(shí)，△CPQ是等腰三角形