Question

已知拋物線y=-

1

3

x²+bx-

10

3

經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（7，6），且與x軸交于B、C兩點(diǎn)
（1）求b值及B、C兩點(diǎn)的坐標(biāo)；
（2）若直線x=t與拋物線交于P，與線段AB交于點(diǎn)Q，試問(wèn)當(dāng)t為何值時(shí)，線段PQ 的長(zhǎng)最長(zhǎng)？最長(zhǎng)是多少？
（3）若點(diǎn)D是線段AB上任意一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)D作DE∥BC，交AC于點(diǎn)E設(shè)ADE的高AF的長(zhǎng)為小x，以DE為折痕將△ADE翻折，所得的△A’DE與梯形DBCE重疊部分的面積記為y，當(dāng)0＜x＜6時(shí)，求y與x的函數(shù)關(guān)系式；并求y的最大值．

Answer 1

分析：（1）把點(diǎn)A的坐標(biāo)（7，6）代入拋物線解析式計(jì)算即可求出b的值，然后令y=0，解關(guān)于x的一元二次方程即可寫出點(diǎn)B、C的坐標(biāo)；
（2）利用待定系數(shù)法求出直線AB的解析式，再根據(jù)拋物線的解析式與直線AB的解析式分別求出點(diǎn)P、與點(diǎn)Q的坐標(biāo)，線段PQ的長(zhǎng)就等于點(diǎn)P的縱坐標(biāo)減點(diǎn)Q的縱坐標(biāo)，整理后根據(jù)二次函數(shù)的最值問(wèn)題求解即可；
（3）因?yàn)锳H的長(zhǎng)度是6，所以①分0＜x≤3時(shí)，△A′DE在梯形DBCE內(nèi)部，重疊部分的面積等于△A′DE的面積，②3＜x＜6時(shí)，點(diǎn)A′在梯形DBCE的外部，重疊部分是一個(gè)梯形，求出DE的長(zhǎng)度，△A′DE在x軸上兩交點(diǎn)之間的距離，以及梯形的高，然后根據(jù)梯形的面積公式列式并整理，再根據(jù)二次函數(shù)的最值問(wèn)題進(jìn)行求解，綜合兩種情況便不難求出最大面積y．

解答：解：（1）∵拋物線y=-

1

3

x²+bx-

10

3

經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（7，6），
∴-

1

3

×7²+7b-

10

3

=6，
解得b=

11

3

，
∴拋物線解析式是y=-

1

3

x²+

11

3

x-

10

3

，
當(dāng)y=0時(shí)，-

1

3

x²+

11

3

x-

10

3

=0，
解得x₁=1，x₂=10，
∴點(diǎn)B、C的坐標(biāo)分別為B（1，0），C（10，0）；

（2）設(shè)直線AB的解析式是y=kx+b，
則

7k+b=6 k+b=0

，
解得

k=1 b=-1

，
∴直線AB的解析式是y=x-1，
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（t，-

1

3

t²+

11

3

t-

10

3

），點(diǎn)Q的坐標(biāo)是（t，t-1），其中0＜t＜6，
PQ=-

1

3

t²+

11

3

t-

10

3

-（t-1）=-

1

3

t²+

8

3

t-

7

3

=-

1

3

（t-4）²+3，
∴當(dāng)t=4時(shí)，線段PQ有最長(zhǎng)值，最長(zhǎng)值為3；

（3）①0＜x≤3時(shí)，如圖，延長(zhǎng)AF交x軸與H，
△A′DE在梯形DBCE內(nèi)部，重疊部分的面積等于△A′DE的面積
∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴

AF

AH

=

DE

BC

，
即

x

6

=

DE

10-1

，
解得DE=

3

2

x，
∴重疊部分的面積y=S_△A′DE=

1

2

DE•AF=

1

2

×

3

2

x×x=

3

4

x²，（0＜x≤3），
∴當(dāng)x=3時(shí)，y有最大值，最大值y=

3

4

×3²=

27

4

，
②當(dāng)3＜x＜6時(shí)，點(diǎn)A′在梯形DBCE的外部，重疊部分是一個(gè)梯形，如右圖，
FH=AH-AF=6-x，A′H=A′F-FH=x-（6-x）=2x-6，
∵DE∥BC，
∴△A′MN∽△A′DE，
∴

A′H

A′F

=

MN

DE

，
即

2x-6

x

=

MN

3 2 x

，
解得MN=3x-9，
∴重疊部分的面積y=S_梯形MNED=

1

2

（MN+DE）•FH=

1

2

（3x-9+

3

2

x）（6-x）=

9

4

（x-4）²+9，（3＜x＜6），
當(dāng)x=4時(shí)，y有最大值，最大值y=9，
9＞

27

4

，
綜上所述，當(dāng)x=4時(shí)，△A′DE與梯形DBCE重疊部分的面積y有最大值，最大值是9．

點(diǎn)評(píng)：本題著重考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式、圖形面積的計(jì)算方法、三角形相似、函數(shù)圖象交點(diǎn)等重要知識(shí)點(diǎn)，綜合性強(qiáng)，能力要求較高．考查學(xué)生分類討論，數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法．