Question

如圖，已知∠ACB=90°，AC=BC，∠ECF=135°，當(dāng)AB=時．
（1）求證：△ACE∽△BFC；
（2）求AE•BF的值．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)、三角形外角定理以及補(bǔ)角的定義證得∠E=∠FCB，∠CAE=∠FBC，所以△ACE∽△BFC；
（2）利用勾股定理在等腰直角三角形ABC中求得AC=BC=1；然后由（1）中的△ACE∽△BFC的對應(yīng)邊成比例列出比例式=，所以易求AE•BF的值．
解答：（1）證明：∵∠ACB=90°，AC=BC，∠ECF=135°，
∴∠CAB=∠CBA=45°，∠ECA+∠FCB=45°．
∵∠E+∠ECA=∠CAB=45°（三角形外角定理），
∴∠E=∠FCB．
又∵∠CAE=∠FBC，
∴△ACE∽△BFC；

（2）∵在直角△ABC中，AC=BC，AB=，
∴AC=BC=1．
∵△ACE∽△BFC，
∴=，
∴AE•BF=AC•BC=1×1=1，即AE•BF的值為1．
點評：本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)．本題通過△ACE和△BFC中的兩組對應(yīng)角相等來證明這兩個三角形相似的．