Question

【題目】已知：如圖，在矩形ABCD中，E為AD的中點(diǎn)，EF⊥EC交AB于F（AB＞AE）.問(wèn)：△AEF與△EFC是否相似？若相似，證明你的結(jié)論；若不相似，請(qǐng)說(shuō)明理由.

Answer 1

【答案】相似,理由見(jiàn)解析.

【解析】

延長(zhǎng)FE和CD交于P，求出等腰三角形PCF，推出∠PCE=∠FCE，根據(jù)△AFE∽△DEC推出∠AEF=∠PCE，推出∠A=∠FEC，∠AEF=∠ECF，根據(jù)相似三角形的判定推出即可．

答：相似．

證明：延長(zhǎng)FE和CD交于P，

∵四邊形ABCD是矩形，

∴∠A=∠ADC=∠EDP=90°，

∵E為AD中點(diǎn)，

∴AE=DE，

在△AFE和△DPE中， ，

∴△AFE≌△DPE（ASA），

∴PE=EF，

∵EC⊥EF，

∴PC=FC，

∴∠PCE=∠FCE，

∵CE⊥EF，∠A=90°，

∴∠FEC=90°，

∴∠AEF+∠DEC=90°，∠AEF+∠AFE=90°，

∴∠AFE=∠DEC，

即∠A=∠EDC，∠AFE=∠DEC，

∴△AFE∽△DEC，

∴∠AEF=∠DCE，

∵∠DCE=∠FCE，

∴∠AEF=∠ECF，

∵∠A=∠FEC=90°，

∴△AFE∽△EFC．