Question

如圖12，y關(guān)于x的二次函數(shù)y=－(x+m)(x－3m)圖象的頂點為M,圖象交x軸于A、B兩點，交y軸正半軸于點D.以AB為直徑作圓，圓心為點C，定點E的坐標(biāo)為（－3，0），連接ED.（m>0）

(1)寫出A、B、D三點的坐標(biāo)；

圖12

（2）當(dāng)m為何值時，點Ｍ在直線ＥＤ上？判定此時直線ED與圓的位置關(guān)系；

（3）當(dāng)m變化時，用m表示△AED的面積S，并在直角坐標(biāo)系中畫出S關(guān)于m的函數(shù)圖象示意圖.

Answer 1

解：(1)令y=0,則－(x+m)(x－3m)=0,解得x₁=－m，x₂=3m.

∵m>0,∴A(－m,0)，B(3m,0).

令x=0,則y=m,即D(0, m).

(2)設(shè)直線ED的解析式為y=kx+b,將點E(－3,0)、D（0，m）的坐標(biāo)代入解析式中，得

解得

∴直線ED的解析式為y=

∵y=－(x+m)(x－3m)=－(x－m)²+m,

∴頂點M的坐標(biāo)為.

把代入y=得m²=m,解得m=0或m=1.

∵m>0,∴m=1.

∴當(dāng)m=1時,點M在直線ED上.

連接CD,點C為AB的中點,坐標(biāo)為C(m,0),即(1,0).

∵OD=,OC=1,

∴CD=2,點D在圓上.

又∵OE=3,OE²+OD²=ED²=12,

EC²=16,CD²=4，

∴CD²+DE²=EC².

∴∠EDC=90°,∴直線ED與⊙C相切.

答圖3

(3)S_△AED=m·｜3－m｜.

當(dāng)0<m<3時,S_△AED=AE·OD=m（3－m），即S= －m²+m.

當(dāng)m>3時,S_△AED=AE·OD=m（m－3），即S=m²－m.

圖象示意圖如答圖3中的實線部分.