Question

拋物線y=ax²+bx-2經(jīng)過A（4，0），B（1，0）兩點(diǎn)，C點(diǎn)是拋物線與y軸的交點(diǎn)．
（1）求出拋物線的解析式；
（2）P是拋物線上一動點(diǎn)，過P作PM⊥x軸，垂足為M，是否存在P點(diǎn)，使得以A、P、M為頂點(diǎn)的三角形與△OAC相似？若存在，請求出符合條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

Answer 1

解：（1）∵拋物線y=ax²+bx-2經(jīng)過A（4，0），B（1，0）兩點(diǎn)，
∴，
解得，
∴拋物線的解析式為y=-x²+x-2；

（2）存在．
令x=0，則y=-2，
∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0，-2），
設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)是m，
則點(diǎn)P的縱坐標(biāo)為-m²+m-2，
①點(diǎn)P在點(diǎn)A、B之間時(shí)，1＜m＜4，
AM=4-m，PM=-m²+m-2，
∵∠COA=∠PMA=90°，
∴當(dāng)==時(shí)，△APM∽△ACO，
即4-m=2（-m²+m-2），
整理得，m²-6m+8=0，
解得m₁=2，m₂=4（舍去），
此時(shí)，-ײ+×2-2=1，
∴點(diǎn)P（2，1）；
當(dāng)==時(shí)，△APM∽△CAO，
即2（4-m）=-m²+m-2，
整理得，m²-9m+20=0，
解得m₁=4，m₂=5，
都不合題意，舍去；
②點(diǎn)P在點(diǎn)A的左邊時(shí)，m＜1，
類似地可求P（-3，-14）；
③點(diǎn)P在點(diǎn)B的右邊時(shí)，m＞4，
類似地可求P（5，-2），
綜上所述，符合條件的點(diǎn)P為（2，1）或（-3，-14）或（5，-2）．
分析：（1）把點(diǎn)A、B的坐標(biāo)代入拋物線解析式，利用待定系數(shù)法求出a、b的值，即可得解；
（2）求出點(diǎn)C的坐標(biāo)，再設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)是m，表示出縱坐標(biāo)，然后分①點(diǎn)P在點(diǎn)A、B之間，②點(diǎn)P在點(diǎn)A的左邊，③點(diǎn)P在點(diǎn)B的右邊三種情況，分別分兩種情況，利用相似三角形對應(yīng)邊成比例列式求出m的值，再代入拋物線解析式求出縱坐標(biāo)，即可得解．
點(diǎn)評：本題是二次函數(shù)綜合題型，主要利用了待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，相似三角形的判定與性質(zhì)，難點(diǎn)在于（2）要分情況討論．