Question

已知：如圖，斜坡PQ的坡度i=1：

3

，在坡面上點O處有一根1m高且垂直于水平面的水管OA，頂端A處有一旋轉式噴頭向外噴水，水流在各個方向沿相同的拋物線落下，水流最高點M比點A高出1m，且在點A測得點M的仰角為30°，以O點為原點，OA所在直線為y軸，過O點垂直于OA的直線為x軸建立直角坐標系．設水噴到斜坡上的最低點為B，最高點為C．
（1）寫出A點的坐標及直線PQ的解析式；
（2）求此拋物線AMC的解析式；
（3）求|x_C-x_B|；
（4）求B點與C點間的距離．

Answer 1

分析：（1）利用AO長度得出A點坐標即可，再利用斜坡PQ的坡度i=1：

3

，求出直線PQ的解析式；
（2）首先根據(jù)已知得出M點坐標，進而利用頂點式求出二次函數(shù)解析式即可；
（3）將直線PQ的解析式：y=

3

3

x，以及拋物線AMC的解析式：y=-

1

3

（x-

3

） ²+2=-

1

3

x ²+

2 3

3

x+1聯(lián)立，求出B，C點的橫坐標進而得出|x_C-x_B|的值；
（4）構造直角三角形，利用BC=

BH

cos30°

求出即可．

解答：解：（1）過點C作CD⊥x軸一點D，
∵在坡面上點O處有一根1m高且垂直于水平面的水管OA，
∴A點的坐標為：A（0，1），
∵斜坡PQ的坡度i=1：

3

，
∴設C點橫坐標為x，則縱坐標為：

3

3

x，
∴直線PQ的解析式為：y=

3

3

x；

（2）過點M作MN⊥x軸于點N，作AF⊥MN于點F，連接AM，
∵水流最高點M比點A高出1m，且在點A測得點M的仰角為30°，
∴MF=1，MN=2，AM=2，則AF=

3

，
∴M點坐標為：（

3

，2），代入y=a（x-

3

） ²+2，
再將（0，1）代入上式得：
1=a（0-

3

） ²+2，
解得：a=-

1

3

，
此拋物線AMC的解析式為：y=-

1

3

（x-

3

） ²+2=-

1

3

x ²+

2 3

3

x+1；

（3）將直線PQ的解析式：y=

3

3

x，以及拋物線AMC的解析式：y=-

1

3

（x-

3

） ²+2=-

1

3

x ²+

2 3

3

x+1聯(lián)立：

3

3

x=-

1

3

x ²+

2 3

3

x+1，
整理得出：x ²-

3

x-3=0，
解得：x₁=

3 + 15

2

，x₂=

3 - 15

2

，
故C點橫坐標為：

3 + 15

2

，B點橫坐標為：

3 - 15

2

，
∴|x_C-x_B|=

3 + 15

2

-

3 - 15

2

=

15

（m）；

（4）過點B作BH⊥CD于點H，
∵斜坡PQ的坡度i=1：

3

，
∴tan∠CBH=

1

3

=

3

3

，
∴∠CBH=30°，
∵|x_C-x_B|=BH=

15

，
∴BC=

BH

cos30°

=

15

3 2

=2

5

（m）．

點評：本題考查了二次函數(shù)的應用以及坡度問題和解直角三角形的應用等知識，正確構造出直角三角形是解題關鍵．