Question

正方形的A₁B₁P₁P₂頂點P₁、P₂在反比例函數(shù)y=

2

x

 （x＞0）的圖象上，頂點A₁、B₁分別在x軸、y軸的正半軸上，再在其右側(cè)作正方形P₂P₃A₂B₂，頂點P₃在反比例函數(shù)y=

2

x

 （x＞0）的圖象上，頂點A₂在x軸的正半軸上，則點P₃的坐標為

 

．

Answer 1

分析：作P₁C⊥y軸于C，P₂D⊥x軸于D，P₃E⊥x軸于E，P₃F⊥P₂D于F，設(shè)P₁（a，

2

a

），則CP₁=a，OC=

2

a

，易得Rt△P₁B₁C≌Rt△B₁A₁O≌Rt△A₁P₂D，則OB₁=P₁C=A₁D=a，所以O(shè)A₁=B₁C=P₂D=

2

a

-a，則P₂的坐標為（

2

a

，

2

a

-a），然后把P₂的坐標代入反比例函數(shù)y=

2

x

，得到a的方程，解方程求出a，得到P₂的坐標；設(shè)P₃的坐標為（b，

2

b

），易得Rt△P₂P₃F≌Rt△A₂P₃E，則P₃E=P₃F=DE=

2

b

，通過OE=OD+DE=2+

2

b

=b，這樣得到關(guān)于b的方程，解方程求出b，得到P₃的坐標．

解答：解：作P₁C⊥y軸于C，P₂D⊥x軸于D，P₃E⊥x軸于E，P₃F⊥P₂D于F，如圖，
設(shè)P₁（a，

2

a

），則CP₁=a，OC=

2

a

，
∵四邊形A₁B₁P₁P₂為正方形，
∴Rt△P₁B₁C≌Rt△B₁A₁O≌Rt△A₁P₂D，
∴OB₁=P₁C=A₁D=a，
∴OA₁=B₁C=P₂D=

2

a

-a，
∴OD=a+

2

a

-a=

2

a

，
∴P₂的坐標為（

2

a

，

2

a

-a），
把P₂的坐標代入y=

2

x

 （x＞0），得到（

2

a

-a）•

2

a

=2，解得a=-1（舍）或a=1，
∴P₂（2，1），
設(shè)P₃的坐標為（b，

2

b

），
又∵四邊形P₂P₃A₂B₂為正方形，
∴Rt△P₂P₃F≌Rt△A₂P₃E，
∴P₃E=P₃F=DE=

2

b

，
∴OE=OD+DE=2+

2

b

，
∴2+

2

b

=b，解得b=1-

3

（舍），b=1+

3

，
∴

2

b

=

2

1+ 3

=

3

-1，
∴點P₃的坐標為 （

3

+1，

3

-1）．
故答案為：（

3

+1，

3

-1）．

點評：本題考查了反比例函數(shù)圖象上點的坐標特點為橫縱坐標之積為定值；也考查了正方形的性質(zhì)和三角形全等的判定與性質(zhì)以及解分式方程的方法．