Question

【題目】如圖，直線y=x與反比例函數(shù)的圖象交于點(diǎn)A（3，a），第一象限內(nèi)的點(diǎn)B在這個(gè)反比例函數(shù)圖象上，OB與x軸正半軸的夾角為α，且tanα=．

（1）求反比例函數(shù)的解析式；

（2）求點(diǎn)B的坐標(biāo)；

（3）求S△OAB．

Answer 1

【答案】(1) y=; (2) B的坐標(biāo)為（6，2）;(3)9.

【解析】分析：（1）由點(diǎn)A在直線上，將x=3代入帶直線解析式中求出a值，再由點(diǎn)A的坐標(biāo)利用反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征即可得出k值，由此即可得出結(jié)論；
（2）設(shè)點(diǎn)B坐標(biāo)為（x， ），利用正切的定義結(jié)合tanα= ，即可得出關(guān)于x的分式方程，解方程即可得出x的值，由此即可得出點(diǎn)B的坐標(biāo)；
（3）設(shè)直線OB為y=kx，由點(diǎn)B的坐標(biāo)利用待定系數(shù)法即可求出直線OB的解析式，過A點(diǎn)做AC⊥x軸，交OB于點(diǎn)C，利用分割法結(jié)合三角形的面積公式即可得出結(jié)論．

詳解：

（1）∵直線y=x與反比例函數(shù)的圖象交于點(diǎn)A（3，a），

∴a=×3=4，

∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為（3，4），

∴k=3×4=12，

∴反比例函數(shù)解析式y= ．

（2）∵點(diǎn)B在這個(gè)反比例函數(shù)圖象上，設(shè)點(diǎn)B坐標(biāo)為（x， ），

∵tanα=，

∴=，解得：x=±6，

∵點(diǎn)B在第一象限，

∴x=6，

∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為（6，2）．

（3）設(shè)直線OB為y=kx，（k≠0），將點(diǎn)B（6，2）代入得：2=6k，

解得：k=，

∴OB直線解析式為：y=x．

過A點(diǎn)做AC⊥x軸，交OB于點(diǎn)C，如圖所示：

則點(diǎn)C坐標(biāo)為（3，1），

∴AC=3．

S△OAB的面積=S△OAC的面積+S△ACB的面積=×|AC|×6=9．

∴△OAB的面積為9．