Question

如圖，在△ABC中，∠C=90°，P為AC上一動點，且點P不與A、C重合，過點P作PD⊥AB，垂足為D，若AB=10，tgA=

3

4

，AD的長為x，四邊形BDPC的面積為y，求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式，并確定x的取值范圍．

Answer 1

分析：先根據(jù)正切的定義得出PD=

3

4

x，再求出△APD的面積，根據(jù)勾股定理可得出AC，BC的長，從而求出△ABC的面積，再減去△APD的面積即可．作 CD′⊥AB于D′，根據(jù)相似比，求出AD的最大值，即可得出0＜x＜

32

5

．

解答：解：∵

PD

x

=tgA=

3

4

，∴PD=

3

4

x．
∴S△APD=

1

2

x•PD=

1

2

x•

3

4

x=

3

8

x2．（3分）
設(shè) BC=3s，則AC=4s，
依勾股定理有（3s）²+（4s）²=10²，
解之得s=2（負值舍去）
故有  BC=6，AC=8．（2分）
S△ABC=

1

2

×6×8=24．（2分）
所以y=24-

3

8

x2．（2分）
作 CD′⊥AB于D′，
∵

AD′

AC

=

AC

AB

，
∴AD′=

8

10

×8=

32

5

．
又∵P與C不重合，
所以0＜x＜

32

5

．（1分）

點評：本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理以及解直角三角形，是基礎(chǔ)知識要熟練掌握．