如圖,直角坐標(biāo)系中,以點A(1,0)為圓心畫圓,點M(4,4)在⊙A上,直線y=-
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x+b過點M,精英家教網(wǎng)分別交x軸、y軸于B、C兩點.
(1)求⊙A的半徑和b的值;
(2)判斷直線BC與⊙A的位置關(guān)系,并說明理由;
(3)若點P在⊙A上,點Q是y軸上C點下方的一點,當(dāng)△PQM為等腰直角三角形時,請直接寫出滿足條件的點Q坐標(biāo).
分析:(1)由圖可得,AM2=AC2+MC2,且AC=3,MC=4,代入可得;
(2)只要證明AB2=AM2+BM2,由圖可得出,BM2=MC2+BC2,由AB=
25
3
,MC=4,BC=
16
3
,代入即可求出;
(3)題目分為3種情況:①PQ=QM,②PM=MQ,③PQ=PM;點M(4,4),點P(5cosA,5sinA),Q(0,y);
解答:解:(1)連接AM,作MD⊥OB,由點M(4,4),A(1,0),
∴|AM|=
(4-1)2+42
=5,
即,⊙A的半徑為5;
把點M(4,4)代入y=-
3
4
x+b得,4=-
3
4
×4+b,
解得,b=7;

精英家教網(wǎng)(2)由圖得,0=-
3
4
x+7,得x=
28
3
,
即OB=
28
3

∴AB=
28
3
-1=
25
3
,BD=
28
3
-4=
16
3

∴AM2+MB2=52+42+(
16
3
)
2
=69
4
9
,
AB2=(
25
3
)
2
=69
4
9
,精英家教網(wǎng)
∴∠AMB=90°,
∴直線BC與⊙A相切;

(3)①當(dāng)∠PQM=90°時,
∵M(jìn)(4,4),
∴∠MOB=45°,
∴過點M作MP⊥OB交⊙O于點P,
點Q與點O重合,
精英家教網(wǎng)∴∠PQM=90°;
∴Q(0,0);
②過點M作MN⊥y軸,MD⊥x軸,
當(dāng)△MNQ≌△MDP時,∠PMQ=90°,
∴NQ=PD=2,MQ=MP,
∴Q(0,2);
③當(dāng)∠QPM=90°時,P在y的左方,如圖,設(shè)P(m,n),Q(0,b)可得:
(I)4-m=n-b,(II)4-n=-m,(III)(1-m)2+n2=52
解方程組得,b=2,b=-8(b=2也符合條件,雖與②中b同,但直角不同),
第二情況:P在y的右方,同理得:
(I)m-4=n-b,(II)4-n=m,(III)(1-m)2+n2=52,
解方程組得,b=3+
41
(舍去),b=3-
41

綜合上述:Q的坐標(biāo)是(0,0)或(0,2)或(0,-8)或(0,3-
41
).
點評:本題綜合考查了一次函數(shù)與幾何知識的應(yīng)用,題中運用圓與直線的關(guān)系以及直角三角形等知識求出線段的長是解題的關(guān)鍵.考查了同學(xué)們綜合運用所學(xué)知識的能力,是一道綜合性較好的題目.
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

精英家教網(wǎng)如圖,直角坐標(biāo)系中,△ABC的頂點都在網(wǎng)格點上,其中,A點坐標(biāo)為(2,-1),則△ABC的面積為
 
平方單位.

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

如圖,直角坐標(biāo)系中,已知點A(3,0),B(t,0)(0<t<
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),以AB為邊在x軸上方作正方形ABCD,點E是直線OC與正方形ABCD的外接圓除點C以外的另一個交點,連接AE與BC相交于點F.
(1)求證:△OBC≌△FBA;?
(2)一拋物線經(jīng)過O、F、A三點,試用t表示該拋物線的解析式;?
(3)設(shè)題(2)中拋物線的對稱軸l與直線AF相交于點G,若G為△AOC的外心,試求出拋物線的解析式;?
(4)在題(3)的條件下,問在拋物線上是否存在點P,使該點關(guān)于直線AF的對稱點在x軸上精英家教網(wǎng)?若存在,請求出所有這樣的點;若不存在,請說明理由.

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

在如圖平面直角坐標(biāo)系中,△ABC三個頂點A、B、C的坐標(biāo)分別為A(2,-1),B(1,-3),C(4,-4),
請解答下列問題:
(1)把△ABC向左平移4個單位,再向上平移3個單位,恰好得到△A1B1C1試寫出△A1B1C1三個頂點的坐標(biāo);
(2)在直角坐標(biāo)系中畫出△A1B1C1
(3)求出線段AA1的長度.

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

如圖,直角坐標(biāo)系中,△ABC的頂點都在網(wǎng)格點上,C點坐標(biāo)為(1,2),原來△ABC各個頂點縱坐標(biāo)不變,橫坐標(biāo)都增加2,所得的三角形面積是
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

在如圖的直角坐標(biāo)系中,將△ABC平移后得到△A′B′C′,它們的個頂點坐標(biāo)如表所示:
△ABC A(a,0) B(3,0) C(5,5)
△A′B′C′ A′(4,2) B′(7,b) C′(c,d)
(1)觀察表中各對應(yīng)點坐標(biāo)的變化,并填空:△ABC向
平移
4
4
個單位長度,再向
平移
2
2
個單位長度可以得到△A′B′C′;
(2)在坐標(biāo)系中畫出△ABC及平移后的△A′B′C′;
(3)求出△A′B′C′的面積.

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