Question

如圖1，在平面直角坐標系中，有一張矩形紙片OABC，已知O(0，0)，A(3，0)，C(0，2)，點P是OA邊上的動點(與點O、A不重合)．現(xiàn)將△PAB沿PB翻折，得到△PDB；再在OC邊上選取適當?shù)狞cE，將△POE沿PE翻折，得到△PFE，并使直線PD、PF重合．

(1)設(shè)P(x，0)，E(0，y)，求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，并求y的最大值；

(2)如圖2，若翻折后點D落在BC邊上，求過點P、B、E的拋物線的函數(shù)關(guān)系式；

(3)在(2)的情況下，在該拋物線上是否存在點M，使△PEM是以PE為直角邊的直角三角形？若不存在，說明理由；若存在，求出點M的坐標．

Answer 1

答案：
解析：

解：(1)由翻折知：PB平分∠APD，PE平分∠OPF，又∵PD、PF重合 　　∴∠BPE＝90°． 　　∴∠OPE＋∠APB＝90°．又∠APB＋∠ABP＝90°， 　　∴∠OPE＝∠PBA． 　　∴△POE∽△BPA；1分 　　∴；即；∴y＝x(3－x)＝－x2＋x(0＜x＜3)；2分 　　∴ 　　∴x＝時，y有最大值．3分 　　(2)由題意知：△PAB、△POE均為等腰直角三角形， 　　∴P(1，0)，E(0，1)，B(3，2)．4分 　　設(shè)過此三點的拋物線為y＝ax2＋bx＋C，則∴；5分 　　∴y＝x2－x＋1；6分 　　(3)①若∠EPM＝90° 　　由(2)知∠EPB＝90°，∴點M與點B重合時滿足條件．此時M(3，2)；7分 　�、谌簟螾EM＝90° 　　∵直線PB為y＝x－1，與y軸交于點(0，－1)． 　　∴將PB向上平移2個單位則過點E(0，1)，得直線EM為y＝x＋1． 　　此時EM⊥EP 　　∴直線EM：y＝x＋1與拋物線y＝x2－x＋1的交點M也滿足條件 　　由得或(舍去)，∴M(4，5)；8分 　　∴由①、②知該拋物線上存在M(3，2)或M(4，5)滿足條件．9分