Question

【題目】如圖，△ABC是等邊三角形，點D是邊BC上的一點，以AD為邊作等邊△ADE，過點C作CF∥DE交AB于點F．

（1）若點D是BC邊的中點（如圖①），求證：EF=CD；

（2）在（1）的條件下直接寫出△AEF和△ABC的面積比；

（3）若點D是BC邊上的任意一點（除B、C外如圖②），那么（1）中的結論是否仍然成立？若成立，給出證明；若不成立，說明理由．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析（2）1：4（3）成立．

【解析】（1）∵△ABC是等邊三角形，D是BC的中點，

∴AD⊥BC，且∠BAD=∠BAC=30°，

∵△AED是等邊三角形，

∴AD=AE，∠ADE=60°，

∴∠EDB=90°-∠ADE=90°-60°=30°，

∵ED∥CF，

∴∠FCB=∠EDB=30°，

∵∠ACB=60°，

∴∠ACF=∠ACB-∠FCB=30°，

∴∠ACF=∠BAD=30°，

在△ABD和△CAF中，

，

∴△ABD≌△CAF（ASA），

∴AD=CF，

∵AD=ED，

∴ED=CF，

又∵ED∥CF，

∴四邊形EDCF是平行四邊形，

∴EF=CD．

（2）△AEF和△ABC的面積比為：1：4

（3）成立．

理由如下：∵ED∥FC，

∴∠EDB=∠FCB，

∵∠AFC=∠B+∠BCF=60°+∠BCF，∠BDA=∠ADE+∠EDB=60°+∠EDB

∴∠AFC=∠BDA，

在△ABD和△CAF中，

∴△ABD≌△CAF（AAS），

∴AD=FC，

∵AD=ED，

∴ED=CF，

又∵ED∥CF，

∴四邊形EDCF是平行四邊形，

∴EF=DC．