Question

如圖所示，在△ABC中，BC=6，E，F(xiàn)分別是AB，AC的中點(diǎn)，點(diǎn)P在射線EF上，BP交CE于D，點(diǎn)Q在CE上且BQ平分∠CBP，設(shè)BP=y，PE=x．當(dāng)CQ=CE時(shí)，y與x之間的函數(shù)關(guān)系式是    ； 當(dāng)CQ=CE（n為不小于2的常數(shù)）時(shí)，y與x之間的函數(shù)關(guān)系式是    ．

Answer 1

【答案】分析：采用一般到特殊的方法．解答中首先給出一般性結(jié)論的證明，即當(dāng)EQ=kCQ（k＞0）時(shí)，y與x滿足的函數(shù)關(guān)系式為：y=6k-x；然后將該關(guān)系式應(yīng)用到本題中求解．在解題過(guò)程中，充分利用了相似三角形比例線段之間的關(guān)系．另外，利用角平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等的性質(zhì)得出了一個(gè)重要結(jié)論④，該結(jié)論在解題過(guò)程中發(fā)揮了重要作用．
解答：解：如右圖，過(guò)Q點(diǎn)作QM⊥BC于點(diǎn)M，作QN⊥BP于點(diǎn)N．
設(shè)CQ=a，DE=b，BD=c，則DP=y-c；
不妨設(shè)EQ=kCQ=ka（k＞0），則DQ=ka-b，CD=（k+1）a-b．
∵BQ平分∠CBP，
∴QM=QN．
∴==，
又∵=，
∴=，即= ①
∵EP∥BC，
∴=，即= ②
∵EP∥BC，
∴=，即= ③
將①②③式聯(lián)立，解得：y=6k-x ④
當(dāng)CQ=CE時(shí)，k=1，
故y與x之間的函數(shù)關(guān)系式為：y=6-x；
當(dāng)CQ=CE（n為不小于2的常數(shù)）時(shí)，k=n-1，由④式可知，
y與x之間的函數(shù)關(guān)系式為：y=6（n-1）-x．
故答案為y=-x+6；y=-x+6（n-1）．
點(diǎn)評(píng)：本題綜合考查了相似三角形線段之間的比例關(guān)系、角平分線的性質(zhì)等重要知識(shí)點(diǎn)，難度較大．在解題過(guò)程中，涉及到數(shù)目較多的線段和較為復(fù)雜的運(yùn)算，注意不要出錯(cuò)．本題采用了從一般到特殊的解題思想，簡(jiǎn)化了解答過(guò)程；同學(xué)們亦可嘗試從特殊到一般的解題思路，即當(dāng)CQ=CE時(shí)，CQ=CE時(shí)分別探究y與x的函數(shù)關(guān)系式，然后推廣到當(dāng)CQ=CE（n為不小于2的常數(shù)）時(shí)的一般情況．