Question

已知PA=，PB=4，以AB為一邊作正方形ABCD，使P、D兩點(diǎn)落在直線(xiàn)AB的兩側(cè)。

（1）如圖，當(dāng)∠APB=45°時(shí)，求AB及PD的長(zhǎng)；
（2）當(dāng)∠APB變化，且其他條件不變時(shí)，求PD的最大值，及相應(yīng)∠APB的大小。

Answer 1

解：（1）①如圖（1），作AE⊥PB于點(diǎn)E， △APE中，∠APE=45°，PA=， ∴AE=PA·sin∠APE==1，PE=PA·cos∠APE==1， ∵PB=4， ∴BE=PB-PE=3， 在Rt△ABE中，∠AEB=90°， ∴； 如圖（2），因?yàn)樗倪呅蜛BCD為正方形，可將△PAD繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到△P'AB，可得△PAD≌△P'AB，PD=P'B，PA=P'A ∴∠PAP'=90°，∠APP'=45°，∠P'PB=90°， ∴， ；
（2）如圖（3）所示，將△PAD繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到△P'AB，PD的最大值即為P'B的最大值， ∵△P'PB中，P'B<PP'+PB，PP'==2，PB=4，且P、D兩點(diǎn)落在直線(xiàn)AB的兩側(cè)， ∴當(dāng)P'、P、B三點(diǎn)共線(xiàn)時(shí)，P'B取得最大值（見(jiàn)圖（4）），此時(shí)P'B=PP'+PB=6，即P'B的最大值為6， 此時(shí)∠APB=180°-∠APP'=135°。