Question

如圖，AC是⊙O的直徑，P是⊙O外一點，連結(jié)PC交⊙O于B，連結(jié)PA、AB，且滿足PC=50，PA=30，PB=18．
（1）求證：△PAB∽△PCA；
（2）求證：AP是⊙O的切線．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據(jù)△PAB與△PCA的對應(yīng)邊成比例，夾角相等證得結(jié)論；
（2）欲證明AP是⊙O的切線，只需證得∠PAC=90°．
解答：證明：（1）∵PC=50，PA=30，PB=18，
∴，==，
∴=，
又∵∠APC=∠BPA，
∴△PAB∽△PCA；

（2）∵AC是⊙O的直徑，
∴∠ABC=90°，
∴∠ABP=90°，
又∵△PAB∽△PCA，
∴∠PAC=∠ABP，
∴∠PAC=90°，
∴PA是⊙O的切線．
點評：本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)、切線的判定．解題時，利用了圓周角定理：直徑所對的圓周角是直角．